重难点突破02 解三角形图形类问题（十大题型）（原卷版）

重难点突破02解三角形图形类问题目录解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.题型一：妙用两次正弦定理例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD中90BAC，30ABC，ADCD，设ACD.（1）若ABC面积是ACD面积的4倍，求sin2；（2）若6ADB，求tan.例2．（2023·湖北黄冈·高一统考期末）如图，四边形 ABCD中=90BAC， =60ABC，ADCD，设 =ACD．（1）若ABC面积是ACD面积的4倍，求 sin2;（2）若1 tan=2ADB，求 tan.例3．（2023·全国·高三专题练习）在①2ABAD，②sin2sinACBACD，③2ABCACDSS这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，πABCADC，2BCCD，且______.(1)证明：tan3tanABCBAC；(2)若3AC，求四边形ABCD的面积.变式1．（2023·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平面四边形ABCD中，π3π,1,24BCDABABC.(1)当2,7BCCD时，求ACD的面积.(2)当π,26ADCAD时，求tanACB.变式2．（2023·广东广州·高一统考期末）如图，在平面四边形ABCD中，2,1,23BCDABABC．(1)若2,7BCCD，求ACD的面积；(2)若,26ADCAD，求cosACD．变式3．（2023·广东·统考模拟预测）在平面四边形ABCD中，90ABDBCD，45DAB.（1）若2AB，30DBC，求AC的长；（2）若3tan4BAC，求tanDBC的值.变式4．（2023·江苏徐州·高一统考期末）在①22222coscossinaBCaAcb，②2sincosbaBBc，③ABC的面积2sintancos4SbbCcCB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知______.(1)求角C；(2)若点D在边AB上，且2BDAD，5cos13B，求tanBCD.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分变式5．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知coscosbAaBbc.(1)求A；(2)若点D在BC边上，且2CDBD，3cos3B，求tanBAD.变式6．（2023·广东揭阳·高三校考阶段练习）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cos(coscos)AcBbCa.(1)求角A；(2)若O是ABC内一点，120AOB，150AOC，1b，3c，求tanABO．题型二：两角使用余弦定理例4．（2023·全国·高一专题练习）如图，四边形ABCD中，1cos3BAD，3ACABAD．(1)求sinABD；(2)若90BCD，求tanCBD．例5．（2023·全国·高一专题练习）如图，在梯形ABCD中，ABCD∥，33ADBC．(1)求证：sin3sinCA；(2)若2CA，2ABCD，求梯形ABCD的面积．例6．（2023·河北·校联考一模）在ABC中，4AB，22AC，点D为BC的中点，连接AD并延长到点E，使3AEDE.(1)若1DE，求BAC的余弦值；(2)若π4ABC，求线段BE的长.变式7．（2023·全国·模拟预测）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2232cos235cos22CC.(1)求角C；(2)若点D在AB上，2BDAD，BDCD，求ACBC的值.变式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，//ABCD，sin2sinADDCDB.(1)求证：2BCCD；(2)若2ADBC，120ADC，求AB的长度.题型三：张角定理与等面积法例7．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC中，,,abc分别为内角,,ABC的对边，且2sin2sin2sinaAbcBcbC.(1)求角A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是ABC的角平分线，且2AD，3b，求ABC的面积.例8．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin2sin2sinaAbcBcbC．(1)求A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且4AD，6AC，求△ABC的面积．例9．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）在ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且()sin()(sinsin)cbCabAB．（1）求A；（2）若D为BC上点，AD平分角A，且3b，3AD，求BDDC．变式9．（2023·安徽淮南·统考二模）如图，在ABC中，2AB，23sin2cos20BB，且点D在线段BC上．(1)若3π4ADC，求AD的长；(2)若2BDDC，sin42sinBADCAD，求ABD△的面积．变式10．（2023·江西抚州·江西省临川第二中学校考二模）如图，在ABC中，4AB，1cos3B，点D在线段BC上.（1）若3π4ADC，求AD的长；（2）若2BDDC，ACD的面积为1623，求sinsinBADCAD的值.变式11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数21()3sincoscos(0)2fxxxx，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为2π44．(1)求函数()fx的解析式；(2)记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，4a，12bc，()1fA．若角A的平分线AD交BC于D，求AD的长．变式12．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且sinsinsinsinaBCbcAC．(1)求B；(2)若6b，角B的平分线交AC于点D，1BD，求ABC的面积．题型四：角平分线问题例10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一二二中学校校考模拟预测）在ABC中，已知5AB，BAC的平分线与边BC交于点D，DAC的平分线与边BC交于点E，310cos10EAC.(1)若65BCAC，求ABC的面积；(2)若2cos10ADB，求BC.例11．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sinsin4sinsinbCcBaBC，2228bca，(1)求cosA的值及ABC的面积；(2)A的平分线与BC交于D，2DCBD，求a的值．例12．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且π2cossincos06CBA.(1)求角C的大小；(2)若ACB的平分线交AB于点D，且2CD，2BDAD，求ABC的面积.变式13．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，π22cos3abcB，角C的平分线交AB于点D，且27BD，7AD.(1)求ACB的大小；(2)求CD.变式14．（2023·广东深圳·校考二模）记ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知22sinsincos2sin2ABCA.(1)证明：3bca；(2)若角B的平分线交AC于点D，且465BD，32ADDC，求ABC的面积.变式15．（2023·海南·校联考模拟预测）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M在边BC上，AM是角A的平分线，sin3cosaBbA，2CMMB．(1)求A；(2)若23AM，求BC的长．变式16．（2023·四川·校联考模拟预测）在①3cossin3abCcB；②3c这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的横线上，并给出解答．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，点D为BC边的中点，7bAD，且________．(1)求a的值；(2)若ABC的平分线交AC于点E，求BCE的周长．题型五：中线问题例13．（2023·浙江杭州·统考一模）已知ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2sincos2sincos3cABbACa，ca．(1)求角A；(2)若2b，BC边上中线7AD，求ABC的面积．例14．（2023·四川内江·校考模拟预测）在△ABC中，D是边BC上的点，120BAC，1AD，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍．(1)求△ACD的面积；(2)求△ABC的边BC上的中线AE的长．例15．（2023·四川绵阳·统考二模）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，2sin3cos3aCaCb，60A．(1)求a的值；(2)若12BAAC，求BC边上中线AT的长．变式17．（2023·广东广州·统考一模）在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，2,2sin3sin2cbAC.(1)求sinC；(2)若ABC的面积为372，求AB边上的中线CD的长.变式18．（2023·安徽宣城·安徽省宣城中学校考模拟预测）ABC中，已知3coscos036BB.AC边上的中线为BD.(1)求B；(2)从以下三个条件中选择两个，使ABC存在且唯一确定，并求AC和BD的长度.条件①：22230abcc；条件②6a；条件③153ABCS.变式19．（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）如图，设ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知1c且12sincossinsinsin4cABaAbBbC，21cos7BAD．(1)求b边的长度；(2)求ABC的面积；(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且AEF△的面积为ABC面积的16，求AGEF的取值范围．变式20．（2023·广东广州·统考三模）在①sinsin2AbaB；②3sin2cosaBbA这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知ABC中，,,abc分别为角,,ABC所对的边，__________.(1)求角A的大小；(2)已知2,8ABAC，若,BCAC边上的两条中线,AMBN相交于点P，求MPN的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.题型六：高问题例16．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，6a，sin245sinbAB.(1)若1b，证明：π2CA；(2)若BC边上的高为853，求ABC的周长.