第07讲 抛物线及其性质（练习）（原卷版）

第07讲抛物线及其性质（模拟精练+真题演练）1．（2023·四川成都·校联考二模）已知点(0,4)F是抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点，点(2,3)P，且点M为抛物线C上任意一点，则||||MFMP的最小值为（）A．5B．6C．7D．82．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若抛物线22xpy（0p）上一点,3Mm到焦点的距离是5p，则p（）A．34B．32C．43D．233．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知点2,0F是抛物线C：220ypxp的焦点，点M在抛物线C上，点0,4P，且90MPF，则点M到y轴的距离为（）A．6B．8C．10D．124．（2023·四川绵阳·统考二模）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线216xy的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（）A．6B．233C．834D．315．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且60AFB，则||AB（）A．2B．22C．23D．46．（2023·海南·海南中学校考模拟预测）已知直线1:4360lxy和直线2:2lx，抛物线24yx上一动点P到直线1l和2l距离之和的最小值是（）A．3515B．2C．165D．37．（2023·河南·校联考二模）设F为抛物线2:4Cyx的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且MN平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若2NFEF，则梯形EFMN的面积为（）A．12B．6C．123D．638．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知过抛物线C：220ypxp的焦点1,0F的直线与抛物线C交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若3ADBD，O为坐标原点，则AOB的面积为（）A．833B．433C．163D．49．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则FMFN的最小值为（）A．2B．3C．4D．510．（2023·河南·统考三模）已知抛物线2:2(0)Cypxp的准线为:1lx，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于11(,)Pxy，22(,)Qxy两点，点P在l上的射影为P，则下列结论错误的是（）A．若125xx，则7PQB．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设(0,1)M，则2PMPPD．过点(0,1)M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条11．（多选题）（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知抛物线220ypxp经过点1,2M，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点11,Axy，22,Bxy，设直线OA，OB的斜率分别为1k，2k，则（）A．2pB．4ABC．4OAOBD．124kk12．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设0,2Fp为抛物线C：22xpy（0p）的焦点，O为坐标原点，A为C上一点，且9AF，则（）A．8pB．0,4FC．直线AF的斜率为520D．AOF的面积为8513．（多选题）（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知A，B是抛物线C：22yx上两动点，F为抛物线C的焦点，则（）A．直线AB过焦点F时，AB最小值为4B．直线AB过焦点F且倾斜角为60时，83ABC．若AB中点M的横坐标为2，则AB最大值为5D．112AFBF14．（多选题）（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点为0,1F，点M为C的准线与y轴的交点，若直线1ykx与C交于A，B两点，则下列结论正确的为（）A．1pB．存在唯一实数k，使得直线AM与C相切C．恰有2个实数k，使得AFBMBFAM成立D．恰有2个实数k，使得AFBFAOBO成立15．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于x轴的光线1l从点M射入，经过抛物线2:8Cyx上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线2l射出，经过点N，则（）A．若1l的方程为2y，则8PQB．若1l的方程为2y，且PQMMQN，则13,2MC．分别延长,PONQ交于点D，则点D在C的准线上D．抛物线C在点P处的切线分别与直线FP，1l所成角相等16．（多选题）（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知直线l过抛物线C：24xy的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，设,AAAxy，,BBBxy，,GGGxy，则下列选项正确的是：（）A．1AByyB．以线段AB为直径的圆与直线32y相离C．当2AFFB时，94ABD．GAB△面积的取值范围为4,17．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，过点1,0P的直线l与C交于不同的两点M，N.若2NFPF，则MF.18．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知点F为抛物线2:2(0)Cypxp的焦点，过点F且倾斜角为o60的直线交抛物线C于,AB两点，若3FAFB，则p.19．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知F是抛物线2:4Cyx的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线2282160xyxy上一动点，则PFPQ的最小值为．20．（2023·甘肃陇南·统考一模）设F为抛物线28yx的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，若FAFBFCOF，O为坐标原点，则FAFBFC.21．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线2:230lxtyt（0t），定点,0Fm与定直线1:0lxmm，过P向直线1l作垂线，垂足为H．PFPH，若动点P的轨迹为曲线C，且直线l与曲线C相切，则m．22．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知O为坐标原点，直线l过抛物线2:2(0)Dypxp的焦点F，与抛物线D及其准线依次交于,,ABC三点（其中点B在,AC之间），若4,2AFBCBF.则OAB的面积是.23．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知点P是抛物线28yx上的动点，Q是圆22(2)1xy上的动点，则POPQ的最大值是.24．（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知抛物线2:2Cxy的焦点为F，准线为l，A、B是C上异于点O的两点（O为坐标原点），若60AFB，过AB的中点D作DEl于点E，则ABDE的最小值为．1．（2020•新课标Ⅲ）设O为坐标原点，直线2x与抛物线2:2(0)Cypxp交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为()A．1(4，0)B．1(2，0)C．(1,0)D．(2,0)2．（2020•北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线()A．经过点OB．经过点PC．平行于直线OPD．垂直于直线OP3．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）设O为坐标原点，直线3(1)yx过抛物线2:2(0)Cypxp的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则()A．2pB．8||3MNC．以MN为直径的圆与l相切D．OMN为等腰三角形4．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知O为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cypxp焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点(,0)Mp．若||||AFAM，则()A．直线AB的斜率为26B．||||OBOFC．||4||ABOFD．180OAMOBM5．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点(1,1)A在抛物线2:2(0)Cxpyp上，过点(0,1)B的直线交C于P，Q两点，则()A．C的准线为1yB．直线AB与C相切C．2||||||OPOQOAD．2||||||BPBQBA6．（2023•乙卷）已知点(1,5)A在抛物线2:2Cypx上，则A到C的准线的距离为94．7．（2021•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP．若||6FQ，则C的准线方程为32x．8．（2021•北京）已知抛物线24yx的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴于点N，若||6MF，则点M的横坐标是5；MNF的面积为的．9．（2021•全国）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，过F倾斜角为45的直线与C交于A，B两点，且||8AB，则p2．10．（2021•上海）已知抛物线22(0)ypxp，若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，||2AF，||4BF，||3AB，求直线AB的斜率为52．11．（2020•海南）斜率为3的直线过抛物线2:4Cyx的焦点，且与C交于A，B两点，则||AB163．12．（2023•甲卷）设抛物线2:2(0)Cypxp，直线210xy与C交于A，B两点，且||415AB．（1）求p的值；（2）F为22ypx的焦点，M，N为抛物线上的两点，且0MFNF，求MNF面积的最小值．13．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点1(0,)2的距离，记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33．14．（2021•乙卷）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程；（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9PQQF，求直线OQ斜率的最大值．15．（2020•全国）经过点(2,4)A且倾斜角为135的直线与抛物线22(0)ypxp交于M，N两点，且AMMN，1ANMN，0．求p和．