2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第6章　§6.4　数列中的构造问题[培优课]

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§6.4数列中的构造问题数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．题型一形如an＋1＝pan＋f(n)型命题点1an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)例1(1)数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2024等于()A．22023－1B．42023－1C．22023＋1D．42023＋1答案B解析∵an＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，∴{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则an＋1＝4n－1.∴an＝4n－1－1，∴a2024＝42023－1.(2)已知数列{an}的首项a1＝1，且1an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为__________．答案an＝12·3n－1－1解析∵1an＋1＝3an＋2，等式两边同时加1整理得1an＋1＋1＝31an＋1，又∵a1＝1，∴1a1＋1＝2，∴1an＋1是首项为2，公比为3的等比数列．∴1an＋1＝2·3n－1，∴an＝12·3n－1－1.命题点2an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)例2已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式．解∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，∴an＋1－n＋1an－n＝2，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n.命题点3an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)例3(1)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.则数列{an}的通项公式为()A．an＝(2n＋1)·3nB．an＝(n－1)·2nC．an＝(2n－1)·3nD．an＝(n＋1)·2n答案C解析由an＋1＝3an＋2·3n＋1得an＋13n＋1＝an3n＋2·3n＋13n＋1，∴an＋13n＋1－an3n＝2，即数列an3n是首项为1，公差为2的等差数列，∴an3n＝2n－1，故an＝(2n－1)·3n.(2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝________.答案6n3－3n－1解析将已知an＋1＝6an＋3n的两边同乘13n＋1，得an＋13n＋1＝2·an3n＋13，令bn＝an3n，则bn＋1＝2bn＋13，利用命题点1的方法知bn＝2n3－13，则an＝6n3－3n－1.思维升华形式构造方法an＋1＝pan＋q引入参数c，构造新的等比数列{an－c}an＋1＝pan＋qn＋c引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}an＋1＝pan＋qn两边同除以qn＋1，构造新的数列anqn跟踪训练1(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.则数列{an}的通项公式an等于()A．n·2n－1B．n·2nC．(n－1)·2nD．(n＋1)·2n答案A解析由an＋1＝2an＋2n得an＋12n＝an2n－1＋1，设bn＝an2n－1，则bn＋1＝bn＋1，又b1＝1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．∴bn＝n，∴an＝n·2n－1.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)(2023·黄山模拟)已知数列{an}满足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，设1an的前n项和为Sn，则a2023(S2023＋2023)的值为()A．22023－2B．22023－1C．2D．1答案C解析(2＋an)(1－an＋1)＝2，则an＋1＝anan＋2，即1an＋1＝2an＋1，得1an＋1＋1＝21an＋1，故1an＋1是以2为首项，2为公比的等比数列，1an＋1＝2n，1an＝2n－1，an＝12n－1，S2023＋2023＝2＋22＋…＋22023＝22024－2，∴a2023(S2023＋2023)＝2.(3)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝________.答案2n＋1－n－1解析令an＋1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，即an＋1＝2an＋xn＋y－x，与原等式比较得，x＝y＝1，所以an＋1＋n＋1＋1an＋n＋1＝2，所以数列{an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋n＋1＝4×2n－1，即an＝2n＋1－n－1.题型二相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)例4(1)已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10等于()A．47B．48C．49D．410答案C解析由题意得a1＋a2＝4，由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，即an＋an－1an－1＋an－2＝4(n≥3)，所以数列{an＋an＋1}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a9＋a10＝49.(2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)．则数列{an}的通项公式为an＝________.答案3n－－1n4公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析方法一因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an＋1＋an，所以bnbn－1＝an＋1＋anan＋an－1＝3an＋an－1an＋an－1＝3，又因为b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是以首项为3，公比为3的等比数列．所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n，从而an＋13n＋1＋13·an3n＝13，不妨令cn＝an3n，即cn＋1＋13cn＝13，故cn＋1－14＝－13cn－14，即cn＋1－14cn－14＝－13，又因为c1－14＝a13－14＝112，所以数列cn－14是首项为112，公比为－13的等比数列，故cn－14＝112×－13n－1＝an3n－14，从而an＝3n－－1n4.方法二因为方程x2＝2x＋3的两根为－1,3，可设an＝c1·(－1)n－1＋c2·3n－1，由a1＝1，a2＝2，解得c1＝14，c2＝34，所以an＝3n－－1n4.思维升华可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．跟踪训练2若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝________.答案3n－1解析f′(x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，∴f′(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n－1，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1＝3n－1.题型三倒数为特殊数列形如an＋1＝panran＋s型例5(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an4an＋1(n∈N*)，则满足an137的n的最大取值为()A．7B．8C．9D．10答案C解析因为an＋1＝an4an＋1，所以1an＋1＝4＋1an，所以1an＋1－1an＝4，又1a1＝1，所以数列1an是以1为首项，4为公差的等差数列．所以1an＝1＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝14n－3，由an137，即14n－3137，即04n－337，解得34n10，因为n为正整数，所以n的最大取值为9.(2)(多选)数列{an}满足an＋1＝an1＋2an(n∈N*)，a1＝1，则下列结论正确的是()A.2a10＝1a3＋1a17B.1{2}na是等比数列C．(2n－1)an＝1D．3a5a17＝a49答案ABC解析由an＋1＝an1＋2an，可得1an＋1＝1＋2anan＝1an＋2，所以1an＋1－1an＝2，且1a1＝1，所以数列1an是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2，所以1an＝1＋2(n－1)＝2n－1，则(2n－1)an＝1，其中n∈N*，故C对；1111112=22nnnnaaaa＝22＝4，所以数列1{2}na是等比数列，故B对；由等差中项的性质可得2a10＝1a3＋1a17，故A对；由上可知an＝12n－1，则3a5a17＝3×12×5－1×12×17－1＝199，a49＝12×49－1＝197，所以3a5a17≠a49，故D错．思维升华两边同时取倒数转化为1an＋1＝sp·1an＋rp的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出1an的表达式，再求an.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君跟踪训练3已知函数f(x)＝x3x＋1，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________．答案an＝13n－2(n∈N*)解析由已知得，an＋1＝an3an＋1，∴1an＋1＝1an＋3，即1an＋1－1an＝3，∴数列1an是首项为1a1＝1，公差为d＝3的等差数列，∴1an＝1＋(n－1)×3＝3n－2.故an＝13n－2(n∈N*)．课时精练1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为()A．15B．23C．32D．42答案B解析因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，a4＝23.2．在数列{an}中，a1＝5，且满足an＋12n－5－2＝an2n－7，则数列{an}的通项公式为()A．2n－3B．2n－7C．(2n－3)(2n－7)D．2n－5答案C解析因为an＋12n－5－2＝an2n－7，所以an＋12n－5－an2n－7＝2，又a12－7＝－1，所以数列an2n－7是以－1为首项，公差为2的等差数列，所以an2n－7＝－1＋2(n－1)＝2n－3，所以an＝(2n－3)(2n－7)．3．已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1－2an＝n－1，其中n∈N*，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n－nB．an＝2n＋n公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君C．an＝3n－1D．an＝3n＋1答案A解析由题设，an＋1＋(n＋1)＝2(an＋n)，而a1＋1＝2，∴{an＋n}是首项、公比均为2的等比数列，故an＋n＝2n，即an＝2n－n.4．已知数列{an}满足a2＝14，an－an＋1＝3anan＋1，则数列的通项公式an等于()A.13n－2B.13n＋2C．3n－2D．3n＋2答案A解析∵an－an＋1＝3anan＋1，a2＝14，∴a1－a2＝3a1a2，即a1－14＝34a1，解得a1＝1.由题意知an≠0，由an－an＋1＝3anan＋1得1an＋1－1an＝3，又1a1＝1，∴数列1an是以1为首项，3为公差的等差数列，∴1an＝1＋3(n－1)＝3n－2，则an＝13n－2.5．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝a2n，则an等于()A．2n－1B.3n－1C．132n－D．123n－答案D解析由a1＝3，an＋1＝a2n知an0，对an＋1＝a2n两边取以3为底的对数得，log3an＋1＝2log3an，则数列{log3an}是以log3a1＝1为首项，2为公比的等比数列，则log3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝12