微考点7-1 分布列概率中的三大最值问题（三大题型）（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】微考点7-1分布列概率中的三大最值问题（三大题型）题型一：二项分布的转化为数列问题求最值①当p给定时，可得到函数nkppCkfknkkn,2,1,0,)1()(，这个是数列的最值问题.)1()1(1)1()1()1()1()1()1()1(1111pkkpnpkkpnpkpkpknppCppCppknkknknknkkk.分析：当pnk)1(时，1kkpp，kp随k值的增加而增加；当pnk)1(时，1kkpp，kp随k值的增加而减少.如果pn)1(为正整数，当pnk)1(时，1kkpp，此时这两项概率均为最大值.如果pn)1(为非整数，而k取pn)1(的整数部分，则kp是唯一的最大值.注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k等于期望时，概率最大.【精选例题】【例1】某人在11次射击中击中目标的次数为X，若~11,0.8XB，若PXk最大，则k＝（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【详解】因为1nkkknPXkppC，若PXk最大，则11PXkPXkPXkPXk，化简得：1nppknpp，Nk.代入已知数值得：8.69.6k，所以9k时PXk最大.故选：C.【例2】（多选题）下列选项中正确的是（）A．已知随机变量X服从二项分布110,2B，则25DXB．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望75EXC．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得的样本空间为1,2,3,4,5,6，令事件2,3,4A，事件1,2B，则事件A与事件B相互独立D．某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次【答案】BC【详解】A选项，1~10,2XB，115101222DX，2410DXDX，A错误；【淘宝店铺：向阳百分百】B选项，X服从超几何分布，N＝10，M＝7，n＝2，772105MEXnpnN；C选项，12PA，13PB，AB＝{2}，16PABPAPB，A，B相互独立；D选项，设9次射击击中k次概率99C0.80.2kkkPXk最大，则9111099911899C0.80.2C0.80.2C0.80.2C0.80.2kkkkkkkkkkkk，解得7≤k≤8，P（X＝7）＝P（X＝8）同时最大，故k＝7或8，D错误．故选：BC．【例3】高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：时间（x小时/周）000.5x0.51x1x人数20403010(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用PXk表示这10名学生中恰有,010kkkN名学生数学阅读时间在0,0.5小时的概率，求PXk取最大值时对应的k的值．【答案】(1)815；(2)4【分析】（1）抽取的10人中，周阅读时间大于0.5小时的有4人，小于等于0.5小时的有6人，故恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率为1146210CC815C（2）周阅读时间在0,0.5小时的频率为25，故概率为25，则2~10,5kB，所以10103()C525kkkPk，由()(1)()(1)PkPkPkPk得：10191101010111110102323CC55552323CC5555kkkkkkkkkkkk，化简得110101101032CC5523CC55kkkk；解得172255k，又Zk，故4k，【题型专练】1．（多选题）某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量X，下列选项中正确的是（）【淘宝店铺：向阳百分百】A．~12,0.8XBB．9.6EXC．23.84DXD．该同学投篮最有可能命中9次【答案】AB【详解】由二项分布的定义可知，~120.8XB，，120.89.6EX，2224120.810.87.68DXDX，故AB正确，C错误；设该同学投篮最有可能命中m次，则()(1)()(1)PXmPXmPXmPXm12111112121211131212C0.80.2C0.80.2C0.80.2C0.80.2mmmmmmmmmmmm，即475255m，因为m为正整数，所以10m，故D错误；故选：AB2．若随机变量X服从二项分布115,4B，则使PXk取得最大值时，k______．【答案】3或4【详解】依题意015,Nkk，依题意151515151515151511131C1CC344444kkkkkkkkkPXk，15150151141515151513130C3,1C354444PXPX，151154PX，1501PXPXPX，所以0PX、15PX不是PXk的最大项，当114k时，由1511615151515151141515151511C3C34411C3C344kkkkkkkk，整理得1151511515C3C3CCkkkk，即15!15!3!15!1!16!15!15!3!15!1!14!kkkkkkkk，整理得131631151kkkk，163343315kkkkk，所以当k为3或4时，PXk取得最大值.故答案为：3或43．已知随机变量6,0.8XB，若PXk最大，则1DkX______．【答案】24【详解】由题意知：66C0.2(0.8)kkkPXk，要使PXk最大，有671166651166C0.20.8C0.20.8C0.20.8C0.20.8kkkkkkkkkkkk，化简得70.80.260.20.81kkkk，解得232855k，故5k，又()60.80.20.96DX，故21515()24DkXDXDX.故答案为：24.4．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的n个坑进【淘宝店铺：向阳百分百】行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．则当n______时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为______．【答案】5或6516【详解】对一个坑而言，要补播种的概率330133111222PCC，所以补播种坑的数量服从1(,)2Bn，则3个坑要补播种的概率为3333111222nnnnCC．要使312nnC最大，只需323411221122nnnnnnnnCCCC，解得57n，当5n或6n，56733356711513522162128CCC.所以，当5n或6n时有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516．故答案为：5或6，516.5．小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.(1)从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.若抽取的5户中购买量在[3,6]（单位：kg）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在[3,6]（单位：kg）的户数为，求的分布列和期望；(2)将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg时，则该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.【答案】(1)答案见解析；(2)3k.【详解】（1）随机变量所有可能的取值为0，1，2.则【淘宝店铺：向阳百分百】3335C10C10P，213235CC31C5P，123235CC32C10P，012P11035310所以336125105E.（2）根据频率分布直方图可知，每天对甲类生活物资的需求平均值为1.50.102.50.303.50.254.50.205.50.153.5（kg），则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为4,6，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为0.200.150.35p.若从小区随机抽取10户，且抽到X户为“迫切需求户”，则~10,0.35XB，若k户的可能性最大，则1010C1kkkpPXkp，0,1,,10k，11PXkPXkPXkPXk，得1011111010101911010C0.350.65C0.350.65C0.350.65C0.350.65kkkkkkkkkkkk，即71113131710kkkk，解得2.853.85k，由于kN，故3k.题型二：二项分布的转化为导数问题求最值当k给定时，可得到函数)1,0(,)1()(pppCpfknkkn，这个是函数的最值问题，这可以用导数求函数最值与最值点.分析：11)1)(()1()('knkknkknpknppkpCpfpknpkppCknkkn)()1()1(11).()1(11npkppCknkkn当1,,2,1nk时，由于当nkp时，0)('pf，)(pf单调递增，当nkp时，0)('pf，)(pf单调递减，故当nkp时，)(pf取得最大值，)()(maxnkfpf.又当1)(,0pfp，当0p时，0)(pf，从而)(pf无最小值.【精选例题】【例1】（2018年全国1卷）．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任