随机波动环境下库存管理研究

第25卷第10期Vol.25No.10控制与决策ControlandDecision2010年10月Oct.2010随机波动环境下库存管理研究文章编号:1001-0920(2010)10-1451-06娄山佐,吴耀华(山东大学控制科学与工程学院，济南250061)摘要:考虑一需求为复合Poisson分布、提前期为指数分布和短缺损失的连续检查库存系统,在假设供应商的状态和需求到达率均受到独立的随机波动环境影响下,利用水平穿越法,确定了零售商库存水平的平稳分布函数.在此基础上,构建了服务水平约束条件下长程平均总费用率最小化模型,并利用交叉熵法得到最优(𝑟,𝑄)库存控制策略.最后,通过仿真实验分析了环境变化对最优库存和平均费用率的影响.关键词:库存管理；随机环境；水平穿越；交叉熵中图分类号:F253.4文献标识码:AStudyoninventorymanagementinrandomfluctuatingenvironmentLOUShan-zuo,WUYao-hua(SchoolofControlScienceandEngineering，ShandongUniversity，Ji’nan250061，China．Correspondent：LOUShan-zuo，E-mail：[e-mail])Abstract:Thispaperconsidersacontinuous-reviewinventorysystemwithcompoundPoissondemand,exponentialleadtimesandlostsales.Undertheassumptionthatboththesupplier’sstatesandtheoccurrencerateforPoissondemandaresubjecttoindependentlyandrandomlyfluctuatingenvironmentalconditions,thestationarydistributionoftheretailer’sinventorylevelisderivedbyutilizinglevel-crossingapproach.Thenthedistributionisusedtoestablishthelong-runaveragecostrateminimizationmodelwithaservicelevelconstraint,andthecross-entropymethodisappliedtodeterminetheoptimal(𝑟,𝑄)inventorycontrolpolicy.Numericalresultsshowtheeffectofenvironmentalfluctuationontheoptimalinventoryandtheaveragecostrate.Keywords：：：Inventorymanagement；Randomenvironment；Level-crossing；Cross-entropy1引引引言言言全球化市场竞争,导致企业供应和需求所面临的风险越来越多,如暴风雪灾以及频繁打折和促销等.而这些风险强度还随时间发生变化,如暴风雪会在红、橙、黄色等级别间转换.在此环境下,如何有效管理库存,避免重大经济损失是当前管理者急待解决的难题.而将需求或供应视为确定随机分布函数的传统方法,很难有效反映该环境下的实际情况.为此,一些学者将分布函数(或参数)随时间的变化对应表示为环境离散或连续时间Markov链的状态转移,取得了较好效果.Sethi[1]分析了马氏需求环境下库存管理问题;Chern[2]研究了需求波动环境下易变质物品库存问题;Muharremoglu[3]分析了马氏需求和提前期环境下基本库存管理问题;Yin[4]研究了马氏需求环境下联合定价和库存控制问题.另外,近年来人们又对随机供应下的库存问题进行了研究.Federgruen[5]研究了随机供应环境下供应商选择和订货问题;Serel[6]分析了供应不确定环境下联合订货和定价问题;Li[7]给出了供应中断概率为距上次中断时间函数下的库存管理问题.以上均为环境对需求或供应单方面影响下的成果.¨Ozekici[8]研究了供应和需求均随环境变化下库存管理问题;言小明[9]证明了马氏需求和随机供应下联合定价和订货最优策略的存在性;Papachristos[10]研究了用户需求和供应商能力均为马氏调制下的基本库存控制问题;Andrew[11]分析了供应商中断率和需求强度均随时间变化下,不同订货策略对系统费用的影响.因随机提前期的存在,大大增加了解决问题的难度,故他们均假设提前期为0或为常数.在上述成果基础上,本文研究供应和需求均受收稿日期:2009-09-10；修回日期:2009-11-18.基金项目:国家自然科学基金项目(50175064).作者简介:娄山佐(1964−),男,山东莱州人,副教授,博士,从事物流网络复杂特性分析、库存控制、智能算法等研究；吴耀华(1963−),男,济南人,教授,博士生导师,从事物流系统规划、车辆调度和仓储管理等研究.1452控制与决策第25卷随机波动环境影响下,提前期为随机的库存控制问题.在描述问题后,构建了库存水平平稳分布函数和带服务水平约束的长程平均总费用率模型,并利用交叉熵法得到最优解.最后通过仿真实验,分析了环境变化对最优库存和费用的影响.2问问问题题题描描描述述述设某零售商采用连续检查(𝑟,𝑄)库存策略,从一供应商处订货来满足用户需求.受环境变化影响,供应商有时发生中断.按习惯表示,将环境用一连续时间时齐Markov链Ξ={𝐼(𝑡),𝑡⩾0}描述.供应商状态的变化,对应Ξ在状态空间Ω={0,1,⋅⋅⋅,𝑚}上的转移.这里:𝐼(𝑡)=0,表示环境处于正常状态,此时保证供应;𝐼(𝑡)=𝑖,𝑖∈Ω且𝑖∕=0,表示环境处于第𝑖级中断强度状态,此时中断供应.设Ξ在状态𝑖∈Ω上逗留时间服从均值为𝜐−1𝑖的指数分布,转移概率为𝑝𝑖𝑙,𝑖,𝑙∈Ω,满足𝑝𝑖𝑖=0.用户需求为复合Poisson过程,受环境变化影响,其到达率取值𝜆𝑗,𝑗=1,⋅⋅⋅,𝑛,对应一连续时间时齐Markov链Π={𝜋(𝑡),𝑡⩾0}在状态空间𝑆={1,⋅⋅⋅,𝑛}上的转移.为方便计算,设对应Π的各状态,用户需求量相互独立且均服从参数为𝜇的指数分布;Π在状态𝑗∈𝑆上逗留时间服从均值为𝜂−1𝑗的指数分布,转移概率为𝑞𝑗𝑘,𝑗,𝑘∈𝑆,满足𝑞𝑗𝑗=0.另设Ξ和Π是遍历的,在Ω和𝑆上的转移相互独立且均独立于零售商的库存水平.若此水平大于用户的需求量,则满足该用户要求;服务后库存水平若小于订货点𝑟,则订取批量𝑄的产品.若此时Ξ处于状态0,则供应商接受并执行订单;否则,挂起订单,一旦Ξ转移到状态0,则供应商马上执行订单.为简化问题,设提前期服从参数为𝜎的指数分布,订货到达前,零售商最多提出一次订货,即满足𝑟𝑄.订单执行过程中,若Ξ发生转移,则将中止执行,一旦Ξ转移到状态0,则订单恢复执行.设超过零售商在手库存和零售商库存水平为0时的用户需求均丢失,则在用户需求短缺率不超过某一水平约束条件下确定𝑟和𝑄,使零售商的长程平均总费用率最小.3模模模型型型的的的建建建立立立和和和求求求解解解3.1库库库存存存水水水平平平平平平稳稳稳分分分布布布函函函数数数模模模型型型的的的建建建立立立令{𝑊(𝑡),𝑡⩾0}表示𝑡时零售商的库存水平,显然它与状态空间𝑈间满足𝑊(𝑡)∈𝑈≡[0,𝑟+𝑄).根据上面的描述可知,𝑊(𝑡)是一个再生过程,系统稳态时,可用平稳分布𝑊=lim𝑡→∞𝑊(𝑡)描述.为方便水平穿越法能准确刻画库存水平的稳态分布,将系统状态用库存水平、供应商所处环境状态和用户所处环境状态三维随机过程描述,故𝑈可分解以下2(𝑚+1)×𝑛个互不相交的子空间:𝑈0𝑖𝑗={∈(𝑟,𝑟+𝑄)}{𝐼(𝑡)=𝑖}∩{𝜋(𝑡)=𝑗},𝑈1𝑖𝑗={𝜔∈[0,𝑟]}∩{𝐼(𝑡)=𝑖}∩{𝜋(𝑡)=𝑗},𝑖∈Ω,𝑗∈𝑆.若𝑊0𝑖𝑗和𝑊1𝑖𝑗分别表示在子空间𝑈0𝑖𝑗和𝑈1𝑖𝑗上的平稳库存水平过程,则𝑊在𝑈上的变化轨迹可表示为𝑊0𝑖𝑗与𝑊1𝑖𝑗轨迹的合成.用𝑓(⋅)和𝐹(⋅)分别表示𝑊的概率密度和分布函数;相应地,𝑓0𝑖𝑗(⋅)和𝐹0𝑖𝑗(⋅)以及𝑓1𝑖𝑗(⋅)和𝐹1𝑖𝑗(⋅)则分别表示𝑊0𝑖𝑗和𝑊1𝑖𝑗的概率密度和分布函数.利用PASTA原则及水平穿越理论,通过使库存水平的系统点(简称系统点,下同)轨迹进入和离开在各子空间上选择的状态区域速率相等,可构建一系列平衡方程.对于𝑈00𝑗,即𝑊00𝑗∈(𝑟,𝑟+𝑄),𝑗∈𝑆,有𝜆𝑗w𝑟+𝑄𝜔[e−𝜇(𝑥−𝜔)−e−𝜇(𝑥−𝑄)]𝑓00𝑗(𝑥)d𝑥+𝑚∑𝑙=1𝜐𝑙𝑝𝑙0w𝜔𝑄d𝐹0𝑙𝑗(𝑥)+𝑛∑𝑘=1𝜂𝑘𝑞𝑘𝑗w𝜔𝑄d𝐹00𝑘(𝑥)+𝜎𝐹10𝑗(𝜔−𝑄)=𝜆𝑗w𝜔𝑄e−𝜇(𝑥−𝑄)d𝐹00𝑗(𝑥)+(𝜐0+𝜂𝑗)w𝜔𝑄d(𝑧)𝐹00𝑗(𝑥),𝜔∈(𝑄,𝑟+𝑄);(1)𝜎𝑓010𝑗+𝑚∑𝑙=1𝜐𝑙𝑝𝑙0𝑓𝑄0𝑙𝑗+𝑛∑𝑘=1𝜂𝑘𝑞𝑘𝑗𝑓𝑄00𝑘=(𝜆𝑗+𝜐0+𝜂𝑗)𝑓𝑄00𝑗;(2)𝜆𝑗w𝑟+𝑄𝜔[e−𝜇(𝑥−𝜔)−e−𝜇(𝑥−𝑟)]d𝐹00𝑗(𝑥)+𝑚∑𝑙=1𝜐𝑙𝑝𝑙0𝐹0𝑙𝑗(𝜔)+𝑛∑𝑘=1𝜂𝑘𝑞𝑘𝑗𝐹00𝑘(𝜔)=𝜆𝑗w𝜔𝑟e−𝜇(𝑥−𝑟)𝑓00𝑗(𝑥)d𝑥+(𝜐0+𝜂𝑗)𝐹00𝑗(𝜔),𝜔∈(𝑟,𝑄).(3)这里:𝑓010𝑗=d𝐹10𝑗(0)和𝑓𝑄0𝑙𝑗=d𝐹0𝑙𝑗(𝑄)(𝑙∈Ω,𝑗∈𝑆)分别表示𝑊10𝑗=0和𝑊0𝑙𝑗=𝑄时的概率.式(1)左边表示4种事件引发系统点进入𝑈00𝑗中[𝑄,𝜔)的速率.其中:第1项表示库存水平位于[𝜔,𝑟+𝑄)时,用户满足后恰使系统点位于[𝑄,𝜔);第2项表示Ξ从状态𝑙转移到0时,引起𝑈0𝑙𝑗与𝑈00𝑗对应区域系统点转移;第3项表示Π从状态𝑘转移到𝑗时,引起𝑈00𝑘与𝑈00𝑗对应区域系统点转移;第4项表示Ξ处于状态0时订货到达,使位于𝑈10𝑗中[0,𝜔−𝑄)的系统点进入𝑈00𝑗中[𝑄,𝜔).式(1)右边表示3种事件引发系统点离开𝑈00𝑗中[𝑄,𝜔)的速率.其中:第1项表示位于𝑈00𝑗中[𝑄,𝜔)的系统点,满足需求超过𝑥−𝑄的用户后离开该区域;第2项表示Ξ转移到非0状态或Π从状态𝑗转移到其他状态,引起系统点从𝑈00𝑗中[𝑄,第10期娄山佐等:随机波动环境下库存管理研究1453𝜔)转出.式(2)左边表示𝑊10𝑗=0时订货到达、𝑊0𝑙𝑗=𝑄时Ξ从状态𝑙转移到0或𝑊00𝑘=𝑄时Π从状态𝑘转移到𝑗,3种事件引发系统点进入𝑊00𝑗=𝑄的速率.式(2)右边表示𝑊00𝑗=𝑄时需求到达、Ξ从状态0转出或Π从状态𝑗转出,3种事件引发系统点从𝑊00𝑗=𝑄离开的速率.同理,式(3)表示系统点进入和离开𝑈00𝑗中区域(𝑟,𝜔)的速率相等,与式(1)不同的是,订货到达引起系统点转移不会进入该区域.对于𝑈0𝑖𝑗,即𝑊0𝑖𝑗∈(𝑟,𝑟+𝑄),𝑖∈Ω且𝑖∕=0,𝑗∈𝑆,其方程构建与𝑈00𝑗类似,但因Ξ处于非0状态