机械控制工程基础-第4章-系统的瞬态响应与误差分析

第4章系统的瞬态响应与误差分析•本章考点：•1、时间响应：概念及瞬态响应、稳态响应的定义。•2、脉冲响应函数：定义、与传函的关系及任意输入下的脉冲响应。•3、一阶系统：传递函数及增益、时间常数的计算；一阶系统的单位脉冲、单位阶跃、单位斜坡响应函数的计算。•4、二阶系统：传递函数及无阻尼自然频率、阻尼自然频率、阻尼比的计算；特征方程及临界阻尼系数的含义；•5、三阶和高阶系统的时间响应：主导极点的概念及其与相应的关系。•6、瞬态响应：性能指标的定义；二阶系统瞬态响应指标的计算以及二级系统的阻尼比、无阻尼自然频率与各性能指标的关系。•7、系统误差分析：误差和稳态误差的概念及计算；系统类型的定义；系统稳态误差与系统类型、开环增益及输入信号之间的关系；静态误差系数与稳态误差。引言：动态系统的研究方法•动态系统的研究方法有两种：•1、时域分析法：根据系统的微分方程或传递函数，求出系统的输出量随时间的变化规律，从而确定系统的性能•2、频域分析法：以拉氏变换为工具将时域转换为频域，研究系统对正弦输入的稳态响应，分析系统与过程在不同频率的输入信号作用下的响应特性。•本章采用第1种方法。4-1时间响应•1、时间相应的概念•（1）定义：系统在外加激励下，其输出量随时间变化的函数关系叫做系统的时间响应。•（2）时间响应=瞬态响应（0tt1)+稳态响应(t→∞）•（3）系统微分方程的解=系统时间相应的表达式•（4）四种典型输入信号：•阶跃函数•脉冲函数•斜坡函数•加速度函数2)(0,)(0.00,)(0,10,0)(1)(ttftttftttttttx2、脉冲响应函数（1）定义：系统受到一个单位脉冲激励（输入）时产生的响应叫做单位脉冲响应。（2）图示系统的传递函数G(s)即为其脉冲响应函数g(t)的像函数.系统X(t)Y(t)输入函数图4-2单位脉冲响应函数4-2一阶系统的时间响应•1、一阶系统的数学模型•（1）一阶系统：能用一阶微分方程描述的系统。•（2）RC电路•一阶系统传函的一般形式)84(.11)()()();()1()()()()(0000RCssUsUsGsURCssUtudttduRCtuiii)114(.1)()()(TsksRsCsG•2、一阶系统的单位阶跃响应（1）输入：单位阶跃函数（2）输出：（3）响应曲线)(1)(ttfLaplacessR/1)(TssTsTssTssRsGsC/11111111)()()()exp(1]/111[)]([)(11TtTssLsCLtc3、一阶系统的脉冲响应（1）输入：单位脉冲函数（2）输出：（3）响应曲线)()(ttfLaplace1)]([)(tLsRTsTTssGsRsC/111111)()()()exp(1]/111[)]([)(11TtTTsTLsCLtc4、一阶系统的单位斜坡响应（1）输入:（2）输出：（3）响应曲线)0(,)(tttf21][)(stLsRLaplace11111)()()(222TsTsTsTsssGsRsC)exp(]11[)]([)(22TtTTtTsTsTsLsCLtc图4-11表一一阶系统对典型输入信号的响应输入信号输入信号输出响应传递函数单位脉冲R(s)=1单位阶跃1(t)单位斜坡t加速度函数等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。)(t221tSsR1)(21S31S0)1(2122teTTttTt0tTeTtTt01teTt)0(1teTTt11TSsTs1114-3二阶系统的时间响应1、二阶系统的数学模型（1）定义：由二阶微分方程描述的系统。（2）典型例题：弹簧—质量—阻尼系统（3）微分方程拉氏变换传递函数特征根kBsmsXYsGsYkBsmssXkyyBymx221)()()()(mmkBBs2422,1mBmknn2,22221)(nnnssksGS(S+2ξωn)ωn2图4-13标准形式的二阶系统方块图_2222)()()(nnniosSsXsXsGn－自然频率（或无阻尼振荡频率）－阻尼比（相对阻尼系数）Xi（S）Xo（s)(4)二阶系统的标准形式及方块图x++2、二阶系统的单位阶跃响应（1）输入（2）传递函数（简化形式）特征方程特征根ssRttr1)()(1)(2222)()()(nnniosSsXsXsGf(t)t10单位阶跃函数10222,122nnnsssn特征根有三种情况：①欠阻尼，，特征根有一对共轭复根10阻尼自然频率222,111nddnnnjjs此时，此为衰减振荡函数,t,c(t)1))(()()(2dndnnjsjssRsCsjsjsscdndnn1))(()(2)284(.0),1arctansin(1)exp(1)(222ttttCdn∞∞②临界阻尼，，特征根为一负实根。此为衰减振荡的极限。1阻尼自然频率0122,1ndns))(()()(2nnnsssRscssscnn1)()(22)1(1)(tetcntn③过阻尼，，系统有两个不等的负实根，1122,1nns)1)(1()()(222nnnnnsssRscsssscnnnnn1)1)(1()(222.)1()314(.0),(121)(22,121221ntstsnstsesetc二阶系统的单位阶跃响应曲线图4-16不同值的二阶系统单位阶跃响应曲线3、二阶系统的单位脉冲响应（1）输入信号（2）传递函数输出特征方程特征根1)()()(sRttr2222)(nnnsssG2222)()(nnnsssGsc10222,122nnnsssn特征根有三种情况：①欠阻尼，，特征根有一对共轭复根10阻尼自然频率222,111nddnnnjjs)334(,))(()(2dndnnjsjssc)344().sin()exp(1)(2tttCdnn(2)临界阻尼1)364()exp()()354()()()()(222tttcssRsGsCnnnn拉氏逆变换响应函数（3）过阻尼1)374()1)(1()(222nnnnnsssC)1()384(.),e(12)(22,1221ntptpnpetC4-4高阶系统动态分析1、三阶系统（1）传递函数（2）对应方程xbyayayayaxbyayayaxbyaya001230012001)394(,))(2()(21)(1G(s)222222ssssGssksGTsknnnnnn三阶二阶一阶系统（3）单位阶跃响应令，作拉氏逆变换，得,1))(2()()()(222sssssRsGsCnnnn)404(1)2(1.)1sin(1]1)2([)1cos()2()2(1)exp(1)(2222222tnnnettttC（4）闭环主导极点若实极点位于共轭复数极点的右侧，且距原点很近，则响应表现出明显的惯性环节特性，共轭极点只增加曲线初始段的波动。若实极点远离共轭复数极点，位于它们的左侧较远处，则实数极点对系统动态影响较小，响应特性主要决定于复数极点。总之，三阶系统的响应特性主要决定于距虚轴较近的闭环极点，这类极点叫做系统的闭环主导极点2、高阶系统（1）主导极点：系统的所有闭环极点中，距虚轴最近，且周围无闭环零点的极点。主导极点对系统响应起主导作用，其它极点在近似分析中可以忽略不计。一般的，闭环主导极点总以共轭复数极点的形式出现。（2）高阶系统的闭环传递函数)414(,)()()()()()()(1niimjjpszsKsDsMsRscsW4-5瞬态响应的性能指标二阶系统的单位脉冲响应性能要求：稳定性、准确性、灵敏性1、瞬态响应的性能指标（1）前提条件：①系统受单位阶跃信号作用；②零初始条件。（2）瞬态响应的性能指标①延迟时间td：单位阶跃响应c(t)达到其稳态值的50%时所需要的时间。②上升时间tr：单位阶跃响应c(t),丛稳态值的10%——90%（对于过阻尼），或从0——100%（对于欠阻尼）所需要的时间。③峰值时间tp：单位阶跃响应c(t)超过其稳态值而到达第一个峰值时所需要的时间。④超调量Mp:单位阶跃响应c(t)第一次越过稳态值而达峰值时对稳态值的偏差与稳态值之比。⑤调整时间ts:单位阶跃响应c(t)与稳态值之差进入允许的误差范围所需要的时间。通常取5%或2%。相对性指标——Mp；灵敏性指标——td，tr，ts。表示稳态值。)(%,100)()()(CCCtCMp瞬态响应的性能指标的图示0trtptstymaxy)(y2)(y)(05.0y)(02.0y或td2、二阶系统瞬态响应指标的推证（1）上升时间tr：由（4-28）式，当t=tr时C(tr)=1,即令可得（4——43）21arctan1)1arctansin(1)exp(1)(222rdrntttCdrt（2）峰值时间将（4-28）式对时间求导，并令其为零，即dpdppnnpdtttnntttdttdcp故峰值时间为由定义，取,1n2,1,0,0)exp(1)(sin)(2（3）超调量Mp：已知代入超调量的定义式。可得可见，超调量仅与阻尼比有关。)444(dpt)1exp(1)(%100)()()(2ppptCCCtCM（4）调整时间ts对欠阻尼二阶系统，瞬态响应为其包络线方程为设允许误差为δ%，则调整时间满足用包络线近似代替C(t),可得例题4-1，4-2，4-3p87-89)284(.0),1arctansin(1)exp(1)(222ttttCdn21/)exp(1)(ttfnC(ts)-1=δ/100)464(ln100lnnst)1(sTsKmR(s)(-)C(s)KsTsKsGsGsm)1()(1)()(22222///)(nnnmmmssTKTssTKs%3.16%100%21eMp秒73.012ndpt秒486.0drt秒2.13nst•化为标准形式•即有2n=1/Tm=5,n2=K/Tm=25解：系统闭环传递函数为•解得n=5,ζ=0.5例1已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。[解]：①25.025.0162121,825.0161KTsTKn③0.5038，解得,16.0%,16%21eMp当T不变时，T=0.25，3.93880.5