排列组合与概率

亿库教育网百万教学资源免费下载专题三：排列、组合及二项式定理一、排列、组合与二项式定理【基础知识】1.分类计数原理（加法原理）12nNmmm.2.分步计数原理（乘法原理）12nNmmm.3.排列数公式mnA=)1()1(mnnn=！！)(mnn.(n，m∈N*，且m≤n)．4.组合数公式mnC=mnmmAA=mmnnn21)1()1(=！！！)(mnmn(n，m∈N*，且m≤n).5.组合数的两个性质：(1)mnC=mnnC;(2)mnC+1mnC=mnC1（3）1121rnrnrrrrrrCCCCC.6.排列数与组合数的关系是：mmnnAmC！.7.二项式定理：nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(;二项展开式的通项公式：rrnrnrbaCT1)210(nr，，，.【题例分析】例1、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？解法：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有44A种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有234C（44A－33A）种；（3）甲、乙二人均参加，有24C（44A－233A＋22A）种，故共有252种．点评：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种．例2:有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生．(2)某女生一定要担任语文科代表．(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表．(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表．解：(1)先取后排,有13452335CCCC种,后排有55A种,共有5513452335)(ACCC（C＝5400种．(2)除去该女生后先取后排：8404447AC种．亿库教育网百万教学资源免费下载(3)先取后排,但先安排该男生：3360441447ACC种．(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有36C种,再安排该男生有13C种,其余3人全排有33A种,共331336ACC=360种．例3、、有6本不同的书（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？解：（1）在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有90222426CCC（种）。（2）6本书平均分成3堆，用上述方法重复了33A倍，故共有15332426ACC（种）。（3）从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，共有60332516CCC（种）（4）在（3）的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有36033332516ACCC（种）。（5）平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有15221516ACC（种）。（6）本题即为6本书放在6个位置上，共有72066A（种）。例4、如果在nxx421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。解：展开式中前三项的系数分别为1，2n，8)1(nn，由题意得：2×2n=1+8)1(nn得n=8。亿库教育网百万教学资源免费下载设第r+1项为有理项，43168121rrrrxcT，则r是4的倍数，所以r=0，4，8。有理项为295412561,835,xTxTxT。【巩固训练】一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.1、设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中xk的系数不可能是A10B40C50D80.2、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有A3种B4种C5种D6种.二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.3、将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有种.（以数字作答）4、设9922105433321xaxaxaaxx则286420aaaaa―297531aaaaa三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)5、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每班至少一个，共有多少种不同的分配方法？（2）10个优秀名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？6、若432x=44332210xaxaxaxaa，求（1）2420aaa―231aa的值。（2）3210aaaa的值。二、等可能事件的概率【基础知识】等可能性事件的概率()mPAn.【题例分析】亿库教育网百万教学资源免费下载例1、某班有学生36人，血型分别为A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人，现从中抽出2人，求这两人血型不相同的概率.解:P(两人血型相同)＝P(两人血型均为A型)＋P(两人血型均为B型)＋P(两人血型均为AB型)＋P(两人血型均为O型)＝45112362628210212CCCCC.所以，P(两人血型不同)＝1－45344511.点拨:从四种血型中抽出2种有C24＝6种，依次分类则情形较复杂，所以本题用间接法较简便.例2、从男、女学生共有36名的班级中,任意选出两名委员,任何人都有同样的机会当选,如果选得同性委员的概率等于21，求男、女相差几名？解：设男生有x名，则女生有36－x名，选得2名委员都是男性的概率为2362CCx＝3536)1(xx.选得两名委员都是女性的概率为236236CCx＝3536)35)(36(xx.以上两种选法是互斥的，所以选得两名委员是同性委员的概率等于其概率和.依题意3536)1(xx＋3536)35)(36(xx＝21.解得x＝15或x＝21.即该班男生有15名，女生有36－15＝21人或者男生有21人，女生有36－21＝15人，总之，男女相差6名.例3、在袋中装30个小球，其中彩球有n个红色，5个蓝色,10个黄色，其余为白色，求：(1)如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球不相邻的排法有多少种？(2)如果从袋中取出3个都是颜色相同的彩球（不含白色）的概率是40613，且n≥2，计算红球有几个？(3)根据(2)的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个红球的概率？解：(1)将5个黄球排成一排共有A55种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空位上，有A36种排法.∴所求的排法为A55·A36＝14400（种）.（2）取3个球的种数为C330＝4060，设“3个球全是红色”为事件A，“3个球全是蓝色”为事件B.“3个球都是黄色”为事件C，则P(B)＝40601033035CC，P(C)＝4060120330310CC.∵A、B、C彼此互斥，∴P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)，亿库教育网百万教学资源免费下载即40613＝P(A)[phone].∴P(A)＝0，即取3个球，是红球的个数小于或等于2.又∵n≥2，故n＝2.（3）记“3个球至少有一个是红球”为事件D，则D为“3个球中没有红球”，则P(D)＝1－P(D)＝1－330328CC＝14528.例4、一种电器控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入一箱，为了找出该箱中的二等品，我们把该箱中产品逐一取出进行测试.（1）求前两次取出都是二等品的概率；（2）求第二次取出的是二等品的概率；解：（1）四件产品逐一取出方式共有A44种不同方式.前两次取出都是二等品的方式共有A22·A22种不同方式.所以前两次取出都是二等品的概率为：61442222AAA（2）第二次取出是二等品共有：3312AC，所以第二次取出是二等品的概率是：21443312AAC【巩固训练】一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.1、数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）12519D12518C12516B12513A、　　　　、　　　　、　　　　、　2、将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是(A)5216(B)25216(C)31216(D)91216二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.3、袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是.亿库教育网百万教学资源免费下载4、一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)5、8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求：(1)A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；(2)A组中至少有两支弱队的概率．6、有一个表面都涂有红颜色的正方体，被均匀地锯成了1000个小正方体,将这些正方体混合后，放入一个口袋内.(1)从该袋中任抽取一个正方体，恰有两个面涂有红色的概率是多少?(2)从袋中任取两个正方体，其中至少有一个面上有红色的概率是多少?三、互斥事件的概率【基础知识】1、(1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.(2)对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.2.重点公式(1)如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（即A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P（A+B）=P（A）+P（B），推广:P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）.(2)对立事件的概率和等于1.P(P)+P(A)=P（A+A）=1.【题例分析】例1、甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人各抽一题：（1）求甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；（2）求甲、乙两人中至少一人抽到选择题的概率.解：（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的可能结果有C16·C14个，又甲、乙依次抽到一题的可能结果有C110C19个，所以，所求概率为：199101416CCCC=154.亿库教育网百万教学资源免费下载（2）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率