第一讲全等三角形截长补短法

第一讲：全等三角形1、如图，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上．BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．判断线段AP和AQ的关系，并证明．2、如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．(1)在图1中，分别画出点P到边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，这3条线段相等吗？为什么？(2)在图2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由．3、如图，△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD和CE交于点O．（1）求∠AOC的度数；（2）求证：AC=AE+CD．4、如图，△ABC中，AD是∠A外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小．5、如图，△ABC，△DCE均是等边三角形，B、C、E在一条直线上．(1)求证：BD=AE；(2)求∠DOE的度数；(3)求CF=CG；(4)求证：OC平分∠BOE．6、在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC.设∠BCE=m°，∠BAC=n°.(1)如图，当点D在线段BC上时，①、如果∠BAC=90°，∠BCE=度；②、图中与BD始终相等的线段是；③、你认为m、n之间有怎样的数量关系？并说明理由.(2)当点D在直线BC上(除线段BC外)移动时，m、n之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并证明你的结论.7、如图1，正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．（1）证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE．（请你完成余下的证明过程）（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…”，请你作出猜想：当∠AMN=°时，结论AM=MN仍成立．（直接写出答案）第二讲：截长补短1、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若AB+BD=AC，求∠B：∠C的值．2、如图，在△ABC中,∠BAC=60∘，∠ACB=40∘，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线.求证：BQ+AQ=AB+BP.3、如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AC，试比较AB-AD与CB-CD的大小.4、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，求∠C的度数.5、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C．求证：DC=BD+AB.6、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，DC=BC，求∠ADC+∠ABC的度数．7、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，且2AE=AB+AD，求∠ABC+∠ADC的度数．8、如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为AC中点，DB⊥AE于点E，延长AE交BC于点F.求证：∠ADB=∠CDF.9、如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由.10、如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，BC=AB+DC，取AD的中点P，连接PB、PC.判断三角形PBC的形状.