数学建模国赛二等奖烟台大学

1高温作业专用服装设计摘要针对问题一，本文着重考虑热传导沿垂直皮肤方向进行，忽略同层壁之间微小的温差的情况，求解出的毕渥数Bi趋近0用以消除材料接触面的热损耗情况。其次，考虑邻近材料层之间存在一定温度关于厚度坐标的一阶偏导关系，在不同材料层边界设定热量输出与输入的等式关系，利用热传导的性质，建立了一维非稳态导热模型。并对连续变量厚度与时间构成的二维区域进行离散化处理，采用有限差分法及其递推公式来解决以多层热防护服、空气层、人体皮肤为整体的偏微分方程组，利用12类边界条件对离散后的结点进行正向递推，求解得各织物层边界的温度分布(见表problem1.xlsx)，最后借助21类边界条件对该模型进行逆向递推求解，与正向求解所得结果进行整合分析，结果显示(见图表6)：正向递推与逆向递推结果基本一致。针对问题二，本文从目标优化入手，确定了工作时长为60分钟和55分钟的假人皮肤温度分别不超过47℃和44℃的约束方程组，目标函数确定为使假人皮肤温度最低，即z=minu(x4,t)的单目标非线性约束模型。同时在一维非稳态导热模型的基础上，改变第II层的初始条件和左右边界条件，利用有限差分法和递推公式对其进行范围求解，最后对第II层厚度范围解进行优化。得出当厚度为8.7mm时，假人皮肤温度最低。同时为了测试该解的可信度，取定最优厚度解的邻域，将邻域中的值反向带入求皮肤温度，并与最优厚度解对应的皮肤温度作比较，发现该约束模型能够较好地得出最优解。针对问题三，在基于问题二约束模型的基础上，本题将一层材料最优厚度问题拓展到两层材料最优厚度问题。确定了工作时长为30分钟和25分钟时的假人皮肤温度限度的约束方程组，目标函数的确定与问题二确定的目标函数相同。在问题一一维非稳态导热模型的基础上，改变第II、IV层的初始条件和左右边界条件，逐步进行范围优化，得出当II、IV层的厚度分别为12mm、4.3mm时，假人皮肤温度最低。同时对得到的最优厚度解进行检验，发现该约束模型也能够较好地得出最优解。关键词：一维非稳态导热模型；有限差分法；12类边界条件；约束模型；21问题重述1.1背景资料在高温环境下工作时，人们需穿着专用服装以避免灼伤。专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。为设计专用服装，将体内温度控制在37ºC的假人放置在实验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度。为了降低研发成本、缩短研发周期，本文利用专业的数学模型来确定假人皮肤外侧的温度变化情况，用以解决以下三个问题：1.2问题提出(1)专用服装材料的某些参数值由附件1给出，对环境温度为75ºC、II层厚度为6mm、IV层厚度为5mm、工作时间为90分钟的情形开展实验，测量得到不同时间对应的假人皮肤外侧的温度。建立数学模型，计算温度分布，并生成温度分布的Excel文件（文件名为problem1.xlsx）。(2)当环境温度为65ºC、IV层的厚度为5.5mm时，确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。(3)当环境温度为80ºC时，确定II层和IV层的最优厚度，确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。2问题分析2.1问题一的分析观察附件二中数据得，假人皮肤外侧的温度随时间而变化，且在经历较长时间后，温度趋于恒定值，最终达到热平衡，此过程符合非周期性非稳态导热过程。在不考虑同层壁温差的情况下，建立一维非稳态导热方程。其次，热量在传导过程中分热传导和热辐射两方面，但由于空气层间隙非常小，从而不考虑对流情况，这时空气层以热传导为主。问题一从非稳态导热方程着手，由于偏微分方程较为难解，所以借助有限差分法，将连续变量厚度坐标x，时间离散化，继而对网格点进行递推求解。2.2问题二的分析基于问题一的模型，本题为求出第II层在一定范围内的最优厚度，需再对其建立约束模型。本题前提条件为环境温度变为65ºC。在题一中给出的热传导方程的基础下，II层的边界条件改变，题二的约束条件为工作时长为60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟等,其目标函数为工作时长为60分钟时，假人皮肤外侧温度最低。在列出目标函数和约束条件之后，利用LINGO软件进行求解。2.3问题三的分析基于问题二的约束模型，本题将材料层最优厚度问题拓展到两层，但本题仅在题二的基础上改变了环境温度及II、IV层的厚度，其约束条件为工作时长为30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟，目标函数为工作时长为30分钟时，假人皮肤外侧温度最低。3模型假设1.假设同层壁温度相同；2.假设热传导率与时间无关，即忽略时间对热传导率的影响；3.假设热辐射对于热传递的影响；34.假设各织物层之间的温度分布是连续变化的，但温度梯度是跳跃的；5.假设假人体内部不发生热量的损耗。4符号说明符号含义专用服装密度c专用服装比热容专用服装热传导率h专用服装厚度u温度时间q热流量vs物体体积物体表面积5问题求解5.1问题一模型的建立与求解高温作业下的专用服装隔热层分为4层，假设同层壁之间不存在温差，温度仅沿垂直于假人皮肤的方向变化，即在一维空间中建立模型。又考虑到各材料温度随时间的变化而变化，本文建立了大平板一维非稳态导热模型进行温度分布的求解，利用差分解法对其进行数值求解。5.1.1一维非稳态导热模型的建立将服装最外层与空气的接触点定义为原点O，以此建立大平板一维非稳态导热模型。材料的剖面图解如下图1所示：图1服装材料温度随厚度的变化曲线温度分布随时间和空间的变化规律为：,ufx(1)其中，u表示温度，x表示各层材料在坐标轴上的位置，表示时间。考虑到人体温度与外界环境温度差异较大，本文不涉人体为内热源的情况，故非稳态导热的导热微分方程为：4uucxx(2)其中表示专用服装各层材料的密度，c表示各层材料的比热容，表示材料的热传导率。同时引入热扩散率2a，整理可得：222uuax(3)其中2pac考虑到不同材料间的热损耗导致的在同一材料内部引起的温度分布不均情况，本题引入毕渥数Bi：1hhBi(4)其中h表示材料厚度，为材料的热传导率，h表示材料内部导热热阻，表示对流传热热阻率，1表示对流传热热阻。将附件二中相关数据带入公式（4）中得各层之间的毕渥数Bi：1230.0027073170.000729730.00224BiBiBi观察上式可得：0,1,2,3iBii即：1h认为对流传热热阻远大于导热热阻，所以在整个过程中各层材料内部温差较小。不考虑临近层接触点之间的热量损失，单独针对第I层与第II层的导热关系方程，则有：1112xlxluu(5)当考虑到4种邻近材料层之间的导热关系时，建立一维非稳态导热模型如下：51112121231231223342221,2,3,41,2,3,4xlxlxllxllxlllxllliijuuuuiuujuuax(6)上述模型(6)用来表示各邻近层之间的导热关系式，从而进行各材料层温度分布的求解。5.1.2非稳态导热方程的有限差分解法此类偏微分方程的求解过程较为困难，故本文借用有限差分法对非稳态导热方程进行求解。借用有限差分法需先确立各层材料定解条件，即初始条件和边界条件，详解如下：初始条件：,037ulC其中经插值拟合得出在初始条件IVlx处的函数：22225972197.1241.5592.87878514.812292964,64.091.9125.54918.4IVuxeeee拟合图形如图2所示：图2人体温度随时间变化的函数拟合图像边界条件：0xxluQqxSuQqxS(7)其中，为热传导系数，v为衣物的体积，q表示热流量，l表示各层材料厚度累加值。则热量公式为：6Qcv(8)其中vsh，(9)s代表面积，h代表材料厚度。则可推出：qch(10)根据l的不同值来确定各层材料热流量q，从而确定其左右边界。经分析，已知第I层左端初始温度，右端的热流量，故可确定此材料层属于12类边界条件(见图3解释)：图312类边界条件递推经递推可得出各材料层的左端边界温度，即4层材料层均属于12类边界条件。于是可建立如下方程组：22212,000,0,luuaxuxxxlugtuxg(11)为求解此方程组，需对其求解区域：:0,0Gxlt中某些离散点,iix上求出,iiuxt足够近似的解。首先对求解区域进行离散化处理，定义,ux在空间和时间的网格：00,0,1,2,,,0,1,2,,,ijlxxihihhNiMjNtjjM(12)7将x坐标分成N等份，将坐标分成M等份，令i表示位置x横轴，j表示时间纵轴，网格上每一节点表示一个温度值，用中心差分近似代替对空间的偏微分：222,2,,,,ijijuxhuxuxhuxhuxuxu(13)即对于节点,ijx，有：21,,1,22,1,j2,,ijijijijijxxijixxuuuuxxhuuux(14)一阶热传导方程可近似为：,1,j1,,1,222ijiijijijuuuuuah(15)引进系数：22ah(16)则上式变为：,11,,1,12ijijijijuuuu(17)由于差分格式为稳定差分格式的充分条件为：2212ah(18)经计算得，若任取定N，M，得到12，即认为此差分格式为稳定差分格式。综上：由公式610得出差分递推公式：,11,,1,,00,j1,212ijijijijiljuuuuuxugjugj(19)其递推过程为：8,11,,1,1,12,1,0,2,13,2,1,1,1,1,2,1212012012ijijijijjjkjjjkjNjNjNkNjuuuuuuuuiNuuuujMuuuu(20)由此解得各层边界的温度分布，见表格problem1.xlsx，利用所求得的各材料层边界的温度分布，借助MATLAB软件得其边界温度分布图如图4所示：图4温度分布虚拟图下面展示各材料层边界的局部温度分布，如表1所示：表1各材料层边界的局部温度分布时间/sI-IIII-IIIIII-IV074.114025571.5253187659.35701275174.114025571.5253187659.35701275274.114025571.5253187659.35701275374.114025571.5253187659.35701275474.114025571.5253187659.35701275574.114025571.5253187659.35701275674.114025571.5253187659.35701275774.114025571.5253187659.35701275874.114025571.5253187659.35701275974.114025571.