二孩人口模型讲解

重庆市人口老龄化现状及人口年龄结构的分析课程名称数学模型学院计算机学院年级2014级专业班计科5班学生姓名袁胜涛学号20144592开课时间2015至2016学年第二学期组员：20144592袁胜涛20144589刘心想20144611户维波1重庆市人口老龄化现状及年龄结构的分析摘要人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源分配、社会保障、社会稳定和城市活力。所以对人口模型的研究起着越来越重要的意义，而且随着时代的进步，人民生活水平的提高，人均寿命逐渐提高，于此同时，人口老龄化现象也越来越严重，人口老龄化是当今世界人口发展的趋势，人口年龄结构的变化也正在广泛而深刻地影响着人类社会生活的各个方面。因此，我们建立模型分析重庆市当前人口老龄化现状及“二孩政策”对人口年龄结构的影响。对于问题一，我们首先分析了2001年到2014年总人口与老年人口随时间的变化规律，建立了两种模型，一种是随时间变化老年人口的一次线性的曲线，，二是随总人口变化的老年人口的二阶函数曲线，分别做拟合曲线，求出相应的拟合函数，从而计算了2016当前的老龄化现状。通过分析两种模型的变化与误差，我们得到了2016年的老龄化现状：老年人占总人口的比例高达13.89%，足以可见重庆市当前已然进入了老龄化时代。对于问题二，我们通过建立按年龄分布的Leslie模型，分别对于每个年龄段的、每个生育年龄段的女性的人数数据查找，还有根据当前年代的死亡率、生育率对未来每年的死亡率，生育率预测，然后再通过Leslie模型计算出每个年龄段的人数，从而得到在未来51年内的0-14岁，15-64岁、65岁以上的三个年龄段的人口数的估计，从而分析未来重庆市三个年龄段人口数的变化。在未来10年左右的时间段内，老年人仍然在增加，15到64岁段年龄组的人口则在减少，同时的，0到14岁的人口也在缓慢增加，从2050年左右，老年人口开始呈现下降趋势，15到64岁的人口数下降更为明显，而0到14岁的人口数则开始增加，可见，在2050年左右，重庆市老龄化得到初步的治疗效果。同时，人口随年龄的分布也呈现出来健康的金字塔方式。关键词：人口老龄化Leslie模型年龄结构21问题重述一、背景知识：人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源分配、社会保障、社会稳定和城市活力。所以对人口模型的研究起着越来越重要的意义，而且随着时代的进步，人民生活水平的提高，人均寿命逐渐提高，于此同时，人口老龄化现象也越来越严重，关于人口老龄化国际上的标准是：60岁以上的人口数占总人口数的比例超过10%，或者65岁以上的人口数占总人口数的比例超过7%。人口老龄化是当今世界人口发展的趋势，人口年龄结构的变化也正在广泛而深刻地影响着人类社会生活的各个方面。2015年10月，中共十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，二孩的全面开放将为年龄结构的演变带来一定的影响。二、要解决的问题：1收集数据，查阅文献，建模分析重庆市人口老龄化现状2讨论“二孩政策”对重庆市人口年龄结构的影响2问题分析人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂，为了解决此问题，我们分析了题目以及所得数据中所给的相关信息，考虑到可以根据对人口增长不同的评价指标及不同的时期建立模型加以讨论。由模型的计算结果我们还能够得到各年份处在各年龄段的人口数量、男女比率的预测值。根据这些预测值我们可以计算出反映人口增长特点的其他指标，由此我们可以对模型的计算结果进行进一步的分析，并预测“二孩政策”对重庆市人口年龄结构的影响。3模型假设1.社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争iisb,不随时间而变化2.超过90岁的妇女都按90岁年龄计算3.在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变4.不考虑流动人口对人口总数的影响5.假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值6.在农村中，由于不同地区的政策不同，故假设如果农村夫妇第一胎为女孩；7.抽查统计的10%的人口随机性很强8.女人15岁开始生育，50岁停止生育9.假设各个年龄段的死亡率不变，以2010为基础10.单独二胎政策下，假设的各个年龄段变化的生育率合理34符号说明序号符号意义1：t表示年份（选定初始年份的0t）2:r人口增长率3：x人口数量4：mx自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量5：2R可决系数6：mitni,2,1),(在时间段t第i年龄组的人口总数7：)90,,2,1,0ibi（第i年龄组的生育率8：)90,,2,1,0idi（第i年龄组的死亡率9：)90,,2,1,0(isi第i年龄组的存活率10：LLeslie矩阵11：0Z2010年重庆市人口总数12：sz2010年城市总人口13：zz2010年镇总人口14：xz2010年乡总人口15：mini,2,1),0(2010年第i年龄段的人口总数16：)3,2,1(ivi3,2,1i时分别表示市、镇、乡的女孩出生率17：)j(Lj时段具有劳动能力的人口18：)j(社会的抚养比指数19:k总和生育率20：)(jKij时段i年龄组中女性所占的百分比5模型的建立与求解按年龄分布的Leslie模型一、模型的准备将人口按年龄大小等间隔地划分成m个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为2,1,0t.设在时间段t第i年龄组的人口总数为mitni,2,1),(，定义向量Tmtntntntn)](),(),([)(21，模型要研究的是女性的人口分布)(tn随t的变化规律，从而进一步研究总人口数等指标的变化规律。设第i年龄组的生育率为ib，即ib是单位时间第i年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第i年龄组的死亡率为id，即id是单位时间第i年龄组女性死亡人数与总人数之比，iids1称为存活率。设ib、is不随时间t变化，根据ib、is和)(tni的定义写出)(tni与)1(tni应满足关系：41,,2,1),()1()()1(11mitnstntnbtniiimiiii（1）在（1）式中我们假设ib中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段t以后出生而活不到1t的那些婴儿。若记矩阵000000121121mmmsssbbbbL（2）则（1）式可写作)()1(tLntn（3）当L、)0(n已知时，对任意的,2,1t有)0()(nLtnt（4）若（2）中的元素满足（ⅰ）1,,2,1,0misi；（ⅱ）mibi,2,1,0，且至少一个0ib。则矩阵L称为Leslie矩阵。只要我们求出Leslie矩阵L并根据人口分布的初始向量)0(n，我们就可以求出t时段的人口分布向量)(tn。二、模型的建立我们以2010年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据所查数据中所给数据，以1岁为间距对女性分组，其中数据来自于《重庆市人口预测与控制》一文，其中的数据为抽查数据。(1)计算2010年处在各个年龄上的妇女人数的分布向量)90,,2,1,0),0(ini（；假设重庆市城市、镇、乡人口占2010年全国总人口的比率等于全国平均水平，则0.242,0.1297,0.6283szxppp；我们由表1数据知2010年重庆市总人口22488.30Z（单位：千万），因此可以算出2010年城市、镇、乡的总人口分别为78042096.00zpzss、41826694.00zpzzz、0261921.20zpzxx根据所查数据给的2010年城市、镇、乡各个年龄段的女性比率，可以分别算出2010年城市、镇、乡处在第)90,,2,1,0(ii年龄段的女性的总数分别为)0(,)0(,)0(321iiinnn。以城市为例，设2010年城市中处在i年龄段妇女占城市总人口比率分别为iP，则siiZPn)0(1（镇、乡类似）。于是可以算出2010年5处在第)90,,2,1,0(ii年龄段上的妇女总人数.)0()0()0()0(321iiiinnnn（2）计算处在第)90,,2,1,0(ii年龄段的每个女性平均生育女儿的人数)90,,2,1,0(ibi。所查数据中分别给出了2010年城市、镇、乡育龄妇女（15岁—49岁）的生育率（此处应该是包含男孩和女孩)90,,1,0(ii）（15i或49i时都为0），则可以分别算出2010年处在第)90,,1,0(ii年龄段的城市、镇、乡育龄妇女总共生育的小孩数（包含男孩和女孩），记为：)49,,16,15(,)49,,16,15(,)49,,16,15(321iHiHiHiii。以城市为例计算)49,,16,15(1iHi：)49,,16,15()0(*)49,,16,15(111inbiHiii（镇、乡类似）。所查数据中还分别给出了2010年市、镇、乡的男女出生人口性别比321,,ccc（女100计），据此可以分别计算出城市、镇、乡女孩的出生率)3,2,1(100iccviii。由此就可以求出2010年处在第)49,,15(ii年龄段的每个女性平均生育女儿的人数：)49,,15()0(332211invHvHvHbiiiii，由于总和生育率：i1ib*1)S)/Sv8.1((b(3)计算第i年龄段的女性总存活率率)90,,2,1,0(idi：记第)90,,2,1,0(ii年龄段的女性的死亡率为id。所查数据中分别给出了城市、镇、乡处在第)90,,2,1,0(ii年龄段的女性死亡率)90,,2,1,0(,,321idddiii，则处在第i年龄段的女性总死亡率)90,,2,1,0(idi为：)90,,2,1,0()0()0()0()0(332211innbnbnddiiiiiiii，于是总存活率为：iids1见附录。用EXCEL对计算出来的数据进行整理，然后运用MATLAB软件进行编程，计算出Leslie矩阵，于是可以用上面(4)式)0()(nLtnt进行预测。三、模型的分析我国人口发展形势复杂，目前人口的低生育水平面临着严峻的挑战，下面我们分别从如下方面分析预测我国人口发展将要面临的复杂局面。（1）人口老龄化6图1从图1可以看出，随着年份的增加，总人口和老年人口都呈上升趋势，且近似于线性变化。图2从图2中可以看出，老年人的增长速率是在随着年份逐渐变大的。考虑老龄化增长速度，我们假设其随时间为1阶线性的增长方式，设，其中y为对应的x年的老年人口占总人口的比例；通过matlab拟合，得到a=0.003699，b=-7.319，所以得到老年人口随时间的变化函数。7图3由于考虑到总人口的变化，所以单独考虑老年人口所占比例和时间的关系是不明确的，假设老年人口与总人口的关系为2阶的函数关系，假设函数关系式为，（y为老年人口，x为总人口），根据matlab的数据拟合情况来看（图表1.4），我们解得a=0.005698,b=-35.46,c=5.548e+04。所以函数为5.548e+04。拟合图像如下：图4由以上两种方式分别得到当前的老龄化状况，分别将2016与当前的总人口代入式子计算，得到当前的老年人占总人口的比例为0.138878，即100个人当中将会有14个老人；将总人口代入第二个式子计算，得到2016年重庆市的老年人口数为451.6万，可见重庆市的老龄化状况俨然已成为一个亟待解决的问题。（2）“二孩政策”对人口年龄结构影响的预测8图5从图2.1为实施“二孩政策”前各年龄段人口的分布图。从图中可以看出，0到14岁的人口呈下降趋势，15到64岁的人口先减后增，而65岁以上的人口则近似呈线性增长。说明了重庆市人口的老龄化现象