一元二次方程应用题(整理)

一元二次方程典型应用题新世纪教育数学孙老师将实际问题抽象为数学问题，数学建模能力的过程复习问题，提出新知1.列方程解应用题的基本步骤怎样？（1）审题：透彻理解题意，明确哪些是已知数，哪些是未知数，以及它们之间的关系。审一步列一步！（2）设未知数：根据题意，可直接设未知数（求谁设谁），也可间接设未知数，未知数必须写明单位，语言叙述要完整。（3）列代数式和方程：根据题中给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其他未知数，利用等量关系，列出方程或方程组，一般列方程的个数与所设未知数的个数相同。（4）解方程或方程组应注意解题技巧，准确地求出方程或方程组的解。（5）检验答案：解应用题要检验有无增根，又要检验是否符合题意以及实际生活中的常识，最后做出符合题目要求的答案。.注意：（1）在这些步骤中，审题是解题的基础，列方程是解题的中心，发现等量关系是列方程的关键！。(2)在列方程时，要注意列出的方程必须满足以下两个条件：a,方程两边表示同类量数值相等b,方程两边的同类量的单位一样一元二次方程常见应用题有哪些型？（1）销售增长率（2）销售定价问题（3）储蓄利率问题（4）几何问题（5）数字与方程（6）年龄问题(7)趣味问题(8)情景对话解一元二次方程有哪些方法？直接开平方法配方法公式法因式分解法销售增长率问题恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.分析：本题设这两个月的平均增长率是x，十月份的销售额为200（1-20%）万元，十一月份的销售额为200（1-20%）（1+x）万元，十二月份在十一月份的基础上增加x，变为200（1-20%）（1+x）（1+x）即200（1-20%）（万元，进而可列出方程，求出答案．解答：解：设这两个月的平均增长率是x，十一月份的销售额达到200（1-20%）+200（1-20%）x=200（1-20%）（1+x），十二月份的销售额达到200（1-20%）（1+x）+200（1-20%）（1+x）x=200（1-20%）（1+x）（1+x）=200（1-20%）（1+x）2，∴200（1-20%）（1+x）2=193.6，即（1+x）2=1.21，所以1+x=±1.1，所以x=-1±1.1，即x1=0.1，x2=-2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．点评：此类题目旨在考查增长率，要注意增长的基础，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．2)1(x销售定价问题家乐福超市如果将进货价为40元的商品按50元销售，就能卖出500个，但如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，如果你是超市的经理，为了赚得8000元的利润，你认为售价应定为多少（售价不能超过进价的160%）?这时应进货多少个？解答这种商品销售问题时，需要明确：总利润=单利润×售出商品的总量．解：设此商品的单价为(50+x)元，则每个商品的利润是[(50+x)-40]元，销售数量为(500-l0x)个。由题意，得[(50+x)-40](500-l0x)=8000,整理得x2-40x-300=0．解得x1=10,x2=30∵商品售价不能超过进价的160%，∴取x=10.这时应进货500-l0x=400（个）．故售价定为60元，这时应进货400个．销售定价问题某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应定价多少元？分析：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，所以此时商场平均每天要盈利（40-x）（20+2x）元，根据商场平均每天要盈利=1200元，为等量关系列出方程求解即可．解：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，由题意，得（40-x）（20+2x）=1200，即：（x-10）（x-20）=0，解，得x1=10，x2=20，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20，所以，若商场平均每天要盈利12O0元，每件衬衫应降价20元点评：本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解储蓄利率问题王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期利率存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90+145x－3＝0.解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.答第一次存款的年利率约是2.04%.2x几何问题将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.图3图2分析：（1）设出小路的宽度为x米，表示出两条小路的面积，而小路的面积为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可；（2）设出扇形的半径为y米，则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面积，而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可．解答：解：（1）设小路的宽度为x米，根据题意列方程得，18x+15x-x2=18×15×1/3，解得x1=3，x2=30（不合题意，舍去）；答：图①中小路的宽为3米．（2）设扇形的半径为y米，根据题意列方程得，πy2=18×15×1/3，解得y1≈5.4，y2≈-5.4（不合题意，舍去）；答：扇形的半径约为5.4米．点评：此题主要考查长方形和扇形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系几何动态问题如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.Q分析：（1）设果P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为：12×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）△ABC的面积的一半等于12×12×AC×BC=12cm2，令12×2x（6-x）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．解答：解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．由题意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，则1/2•(6-x)•2x=8．整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4．所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．（2）由题意得：S△ABC=1/2×AC•BC=1/2×6×8=24，即：12×2x×（6-x）=1/2×24，x2-6x+12=0，△=62-4×12=-12＜0，该方程无解，所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻．点评：本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系列出方程求解．数字与方程1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的两位数.设谁？年龄问题读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解：设十位是X，则个位数是(X+3)两位数就表示成10X+(X+3)=11X+3所以用“各位平方与寿符”做等量，列方程11X+3=(X+3)^2X^2-5X+6=0(X-2)(X-3)=0X1=2或X2=3X1+3=5X2+3=6可得两组解，25或36，因为已知“而立之年督东吴”（而立之年为30岁），所以一定比30大.，25就要舍去。可得周瑜去世的年龄为36岁。路程问题1.在800米圆形跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，⑴两人同时同地反向起跑，几分钟后第一次相遇？⑵两人同时同地同向起跑，几分钟后第一次相遇？工程问题在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长6500米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480米，乙队平均每天比甲队多完成220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？劳资调配问题趣味问题一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解：设竹竿的长度为X，那么X²=(X-4)²+(X-2)²=X²-8X+16+X²-4X+4=2X²-12X+20,平移过来，X²-12X+20=0(X-10)x（X-2）=0X取10或2，由于2不符合标准，故舍去，得X=10米答：竹竿长10米。情景对话春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？图1如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.分析：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．依题意列方程求解．解答：解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．因为1000×25=25000＜27000，所以员工人数一定超过25人．可得方程[1000-20（x-25）]x=27000．整理得x2-75x+1350=0，解得x1=45，x2=30．当x1=45时，1000-20（x-25）=600＜700，故舍去x1；当x2=30时，1000-20（x-25）=900＞700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游．点评：本题考查的是一元二次方程的应用，难度不大．