中科院历年高等数学甲真题

中国科学院———中国科技大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷试卷名称：高等数学（A）考生须知：1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。_____________________________________________________________________一、选择题（每题只有一个答案是正确的，每小题5分，共25分）（1）当0x时，xx1sin1是（）A.无穷小量B.无穷大量C.有界且非无穷小量D.无穷且非无穷大量（2）设)(xf可微且满足12)0()(lim0xfxfx，则曲线)(xfy在))0(,0(f处的切线斜率为（）A.2B.2C.21D.21（3）二元函数),(yxf在),(00yx处的两个偏导数存在是),(yxf在),(00yx处可微的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件（4）正项级数1nna收敛的充分条件是（）A.11nnaa)(NnB.1nna)(NnC.11)(nnnaa收敛D.12nna收敛（5）下列广义积分中发散的是（）A.dxxxx022)1(lnB.dxx10211C.dxxxx12)1(lnD.dxxx02)1ln(二、填空题（每小题5分，共25分）（1）xxxexx2220sin1lim2________。（2）曲线xysin)0(x和x轴围成的图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积是____________。（3）二重积分dxdyyxyxyx122sinsinsin3sin2________。（4）平面12zyx与椭圆柱面13222yx相交所成的椭圆的面积为_________。（5）向量场222zyxkjiv的旋度为___________。三、（8分）设二元函数f具有一阶连续偏导数，关系式yzezxfyz),(可确定函数)(xyy及)(xzz求dxdy及dxdz。四、（8分）设)(xf满足条件1)()(xfxf，2)0(f。（1）求)(xf；（2）求不定积分dxxfxf)(ln)1)((。五、（8分）求幂级数011)1(nnnxnn的收敛半径和函数。六、（8分）求微分方程xeyyy2的通解。七、（12分）设)(xf在1,0中有连续二阶导函数。（1）证明：1010)(2)1()0()()1(dxxfffdxxfxx；（2）当1)0(f，1)1(f且Mxf)(时，试证：12)(10Mdxxf。八、（12分）计算曲线积分Lxxydyedxyyecos)sin(，其中L是以)0,0(为起点，以)0,2(为终点的上半圆周1)1(22yx。九、（12分）计算曲面积分Szdxdydydzxx)(3，其中S是有向曲面22yxz)10(z，其法向量与z轴正方向夹角为锐角。十、（12分）设)(xf是以2为周期的偶函数，当x0时，21)(xxf。（1）将)(xf在,上展开成傅里叶级数；（2）根据（1）求121)1(nnn和141nn。十一、（10分）设函数)(xf在,0上连续，在),0(上可微，0)0(f。当0x时，)()(0xfxf，证明)(xf恒等于0。十二、（10分）设)(xf在)1,0(上一致连续，证明)(xf在)1,0(上有界.举例说明逆命题不成立。中国科学院——中国科技大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷试卷名称：高等数学（A）考生须知：1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。_____________________________________________________________________一、单项选择题（每题5分，共25分）1.如果函数)(xf，)(xg在点ax附近有定义，下列四个论断正确的是（）A.若1)(af，则存在0，使得)(xf在),(aa上严格单调；B.若)(xf在ax点取到极大值，则)(xf在ax点左侧单调增、右侧单调减；C.若0)(af，)(xf在ax点处可导，则)(xf在ax点处可导的充要条件是0)(af；D.若)(xf和)(xg都在ax点取到极大值，则函数)()(xgxf在ax点必取到极大值。2.当0x时，下列四个无穷小量阶数最高的是（）A.221)1ln(xxxB.dtext201C.xxxsin)cos3134(D.14xe3.设)(xf0,00,1sin3xxxx，则)(xf在0x处（）A.不连续；B.连续，但不可导；C.可导，但导函数不连续；D.可导，且导函数连续。4.设0)0,0(f，当)0,0(),(yx时),(yxf为如下四式之一，则),(yxf在点)0,0(处两个偏导数都存在的是（）A.22yxxyB.2222yxyxC.22221sinyxyxD.2224yxyx5.下列四个论断正确的是（）A.若对所有自然数n，0na满足11nnaa，则正项级数1nna收敛；B.若对所有自然数n，0na满足1nna，则正项级数1nna收敛；C.若正项级数1nna收敛，则0limnann；D.若0na单调减，且级数1)1(nnna发散，则级数1)11(nnna收敛。二、填空题（每题5分，共25分）6.方程xeyyy2的通解为________________________。7.级数1)1(nnxnn的和为__________________。8.设),(yxf是连续函数，D是由直线1yx与x轴、y轴所围成的平面域。已知关系式0),(),(2)1(yDeyxfdxdyyxf成立，则积分Ddxdyyxf),(___________________。9.积分02dxxeexx___________________。10.积分1002)(dxxnn__________________。三、解答题（每题8分，共40分）11.设)(xyy是由xyyxarctanln22确定的隐函数，求dxdy和22dxyd。12.计算Vzdxdydz，其中V是球面azzyx2222和azzyx222所围成的空间区域，0a为常数。13.（1）将xyarcsin展开成带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式；（2）对10b，证明：存在),0(b，使得bbarcsin12；（3）求极限bb0lim，其中由（2）确定。14.利用欧拉积分及函数的余元公式)sin()1()(sss)10(s计算积分bapdxaxxb)(，其中常数p满足10p。15.设第二型曲线积分Lxyxydyxexyxdxyeyfyxf)())0()((22与路径无关。（1）求)(xf；（2）求)3,2()0,0(22)())0()((dyxexyxdxyeyfyxfxyxy。四、解答与证明题（每题12分，共60分）16.求点)1,7,7(到曲面22yxz的最短距离，并作几何解释。17.设)(xf是二次连续可微函数，并设向量场kyjzfxiyxfxfzfv)1()0())()(()0(是无旋场。（1）求未知函数)(xf所满足的微分方程初值问题；（2）求解（1）中的初值问题。18.设23222222)(czbyaxxP，23222222)(czbyaxyQ，23222222)(czbyaxzR，kRjQiPv。求第二型曲面积分SRdxdyQdzdxPdydz，其中S由球面1222zyx与抛物面122yxz所围成的有界区域，外侧。19.设xxf)()10(x。（1）将)(xf展开成以2为周期的傅里叶余弦级数；（2）利用（1）中结果求积分2022ln1dxxxx；（3）利用（1）中结果求级数和141nn。20.设)(xf在区间ba,上有连续的导函数，试证明：（1）badxxfabafbf22))(()())()((；（2）babadxxfdxxfabbxaxf)()(1})(max{。中国科学院——中国科技大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷试卷名称：高等数学（A）考生须知：1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。_____________________________________________________________________一、单项选择题（每小题5分，共25分）1.以下说法中正确的是（）A.无穷小量是比任何数都要小的数；B.任意多无穷小量之积仍为无穷小量；C.两个无穷大之和仍为无穷大量；D.无穷大量与有界量之乘积未必是无穷大量。2.设1,0在上0)(xf，则)0(f，)1(f，)0()1(ff间的大小顺序为（）A.)1()0()0()1(ffffB.)1()0()1()0(ffffC.)0()1()1()0(ffffD.)0()1()0()1(ffff3.已知函数),(yxf满足22),(yxyxyxf，则yyxfxyxf),(),(（）A.yx22B.yx22C.yxD.yx4.下列级数或积分中收敛是（）A.2ln1nnnB.11)11()1(nnnnC.103)1(lndxxxxD.02arctandxxxx5.设m，n，q都是正数，则1011)1(dxxxqmn等于（）A.),(1qmnmB.),(1qnmnC.)()(1qmnmD.)()(1qnmn二、填空题（每小题5分，共25分）6.ninnnin1ln)ln(1lim_________________。7.设D是圆域422yx，则Dyxydxdyeee21_______________。8.在曲线32tztytx的切线方程中，与平面433zyx平行的切线方程是_____________________。9.级数0212nnn的和为__________________。10.设)(xf可微且满足等式1)()1)(2(0xfdttfx，则)(xf___________。三、解答题（每小题8分，共40分）11.设)(xyy是由方程组01sin3232ytettxy所确定的隐函数，求dxdy及022tdxyd。12.求不定积分dxxx22。13.设容器底面在水平面Oxy上，z轴竖直向上，其侧面是由Oxz平面曲线12zzx绕z轴旋转而得的旋转曲面。今以秒米/13的速率向容器内灌水。试问当容器内水面高度为h米时，容器内水面上升的速率是多少秒米/？14.设)(yf是连续函数，试将累次积分xabadyyfyxdx)()cos(化成一个定积分。15.试将函数61)(2xxxf在1x处展开成幂级数，写出展开式成立的区间，并求)1()(nf。四、解答与证明题（每小题12分，共60分）16.（1）求函数122yxz的极值；（2）求在条件03yx之下函数122yxz的条件极值；（3）说明几何意义。17.设曲面S的方程222yxaz，cos，cos，cos是此曲面下侧法向量的方向余弦，计算