第二章远期之定价(2)

1第二章远期类金融衍生工具之远期价格2一、准备知识（一）连续复利假设数额A以年利率R投资了n年。如果每年复利m次，当m趋近于无穷大时（即连续复利），其终值为：如果已知终值为A，以利率R按连续复利方式贴现n年，其现值为：RnmnmAemRA)/1(limRnAe3进而可以推导出连续复利和每年计m次复利的利率之间相互转换的公式：Rc是连续复利利率,Rm是每年计m次复利的利率.)1ln(mRmRmc)1(/mRmcemR4同理，我们可以推算出任意两种复利方式下，等价利率的相互转换。(如何推导出？？？)2/1112112mmRRmmmm5（二）卖空投资者通过经纪人从其他客户处借证券来卖掉，所得价款进入自己的帐户，同时在经纪人处交纳一定的初始保证金。如果要平仓，则用自己帐户中的资金购买相应数量的证券归还原主。最初卖出证券所得一般为初始保证金一部分，可在市场上流通的证券（短期国债）可能存放在经纪人处作为初始保证金。借券期间，空头客户必须将该证券的任何收入（如红利、利息）经经纪人转付给被借券的客户。6例：一投资者于4月底卖空了500股IBM股票，每股价格$120,7月份，当股票价格为$100时，投资者买回了这些股票，结清了这些头寸。假设5月份每股股票支付了$4的红利。计算该投资者的收益。解:投资者4月份建立空头头寸时，共收到：500×$120＝$60，000；5月份红利使投资者需付出：500×$4＝$2，0007月份投资者轧平头寸时，需付出：500×$100=$50，000投资者净收益为：$60,000－$2,000－$50,000＝$8,0007（三）假设参见47页假定对部分市场参与者，以下几条成立：1、无交易费用；2、所有的市场利润（减去交易损失后的净额）使用同一税率；3、市场参与者能够以相同的无风险利率借入和贷出资金；4、有套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动。以上假设意味投资者一旦发现套利机会就进行套利，从而使套利机会很快消失。因此市场价格是无套利机会时的价格。8（五）符号本章中将要用到的符号如下：T：远期合约到期的时刻(年)t：现在的时刻(年)S：远期合约标的资产在时刻t时的价格ST：远期合约标的资产在时刻T时的价格(在t时刻这个值是未知的)K：远期合约中的交割价格f：时刻t时，远期合约多头的价值F：时刻t时的远期价格r：对了时刻到期的一项投资而言，时刻t以连续复利计算的无风险利率9注意：1、各符号同样适用于期货2、对于本章后面的讨论，T和t的绝对时刻点并不重要，重要的是T-t，即两者中间间隔的时间段，它是一个以年为单位的变量。3、其中远期价格F，在上述（三）的假设下，即为远期合约的合理价格。在远期合约刚订立时，F=K，因而f=0。随着时间的推移，F会发生变动，而K则固定不变，因此，f的值也会相应地发生变动。10（六）持有成本理论及套利的概念1、持有成本理论是一种确定远期、期货合理价格（定价）的方法。该理论的简单表述为：远期(期货)合理价格=现货价格+净持有成本其中，净持有成本=现货的存储成本（对商品期货而言）+购买现货占压资金的利息成本-持有期收益（例如持有股票现货分得的红利，或持有债券现货的利息收益等）112、所谓套利，是指在不同市场上同时买卖相同或相似的证券而获取无风险收益的活动。以期货为例，如果期货的价格高于合理价格，就可以买进现货，同时卖出期货，将现货持有到期再用来交割期货，就可以无风险地获取上述等式两边的差价。反之，则做相反的操作。123、无套利均衡定价：无套利定价原则：在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。即如果某项金融资产的定价不合理，市场必然出现以该项资产进行套利活动的机会，人们的套利活动会促使该资产的价格趋向合理，并最终使套利机会消失13二、不支付收益证券远期（期货）合约的合理价格及套利不支付收益证券包括不支付红利的股票和贴现债券等。短期利率期货的定价和套利也适用于以下的方法。最容易定价的远期合约就是基于不支付收益证券的远期合约。14（一）定价1、持有成本理论下合理价格的确定对不支付红利的证券，因为既无存储成本，又无收益,持有成本就是r。由于现货证券不支付收益，所以合理的远期价格应该等于现货价格（本金）加上在T-t时段内该本金应该产生的利息，即本利和。在连续复利条件下：)(tTrSeF152、无套利定价由f与K、S的关系推出合理价格组合A：一个远期合约多头加上一笔数额为Ke-r(T-t）的现金；组合B：一单位标的证券在时刻T，两种组合都可以获得一单位的证券，因此在时刻t时，两个组合也必然等价。当f=0时，F=K，代入上式，得：SKeftTr)()(tTrKeSf)(tTrSeF16例考虑一个6个月期的远期合约的多头状况，标的证券是一年期贴现债券，远期合约交割价格为$950。我们假设6个月期的无风险利率(连续复利)为年利率6％，债券的现价为$930。求远期合约的价值。解：此时，T—t=0.50，r=0.06，K=950，S=930，远期合约多头头寸的价值f为：f=930—950e-0.5×0.06=8.06类似地，该远期合约空头的价值为—8.06。17（二）、不支付收益证券远期（期货）合约的套利以F*表示远期合约的实际市场价格1、如果F*F，即说明远期合约价格相对于现货价格被高估，应该卖出远期合约，买进现货。因此，投资者以无风险利率借S美元，期限为T-t，用来购买证券现货，同时卖出远期合约。在时刻T，用购买的现货交割到期的远期合约，得价款F*，同时归还借款本利和为Ser(T-t）。因此，套利利润为)(*tTrSeF18例：期限为3个月的股票远期合约的价格为43美元。3个月后到期的无风险年利率为5%，股票当前价格为40美元，不付红利。①判断：期货价格被高估②套利：借40美元即期购入股票现货，同时持有3个月后卖出股票的远期合约。3个月后，交割股票得价款43美元，归还到期贷款40.50美元，因此，套利者在3个月后净盈利4350.404012/305.0eSet)r(T美元50.250.4043192、如果F*F，即说明远期合约价格相对于现货价格被低估，应该买进远期合约，卖出现货。因此，投资者可以卖空现货，得价款S美元，并将其按年利率r进行投资，期限为T-t。同时购买远期合约。在时刻T，价款投资得本利和为为Ser(T-t），用这笔资金交割远期合约，但只需花费F*。再用交割中所得的证券冲抵原来的现货空头部位。因此，套利净利润为*)(FSetTr20例：期限为3个月的股票远期合约的价格为43美元。3个月后到期的无风险年利率为5%，股票当前价格为40美元，不付红利。①判断：期货价格被低估②套利：即期卖空股票现货，将收益作3个月的投资，同时持有3个月后买进股票的远期合约。3个月后，收回投资，本利和为40.50美元，交割远期合约得股票并支付价款39美元，将所得股票用于现货空头的平仓。因此，套利者在3个月后净盈利3950.404012/305.0eSet)r(T美元50.13950.4021三、支付已知现金收益证券远期（期货）合约的合理价格和套利支付已知现金收益证券:是指证券（远期合约的标的资产）将为持有者提供可完全预测的现金收益。已知现金收益证券：在持有期内，可以为持有者提供可完全预测的现金收益的证券（如已知红利的股票或息票债券）。中长期国债期货的定价和套利也即适用于以下方法。22（一）定价1、持有成本理论下合理价格的确定设I为远期合约有效期内所得现金收益的现值，贴现率为无风险利率。则)()(tTrtTrIeSeF)()(tTreISF232、无套利定价由f与K、S的关系推出合理价格组合A：一个远期合约多头加上一笔数额为Ke-r(T-t）的现金；组合B：一单位标的证券加上以无风险的利率借I数额的资金（即同时负债I）（为什么要负债？P53）在T时刻，两个组合都可以得到一单位的证券，在当前它们也应具有相同的价值当f=0时，F=K，代入上式，得：ISKeftTr)()(tTrKeISf)()(tTreISF24例：一个股价为$50的股票的10个月期远期合约。假设对所有的到期日，无风险利率(连续复利)都是年利率8％。同时假设在3个月、6个月以及9个月后都会有每股$0.75的红利付出。求远期价格。解：红利的现值I为：I=0.75e-0.08×3／12+0.75e-0.08×6／12+0.75e-0.08×9／12=2.162变量T—t=0.8333=10/12年，因此远期价格F为：F=(50—2.162)e0.08×0.8333=51.1425例一种五年期债券，价格为$900。假设这种债券的一年期远期合约的交割价格为$910。在6个月后和12个月后，预计都将收到$60的利息。第二次付息日正好在远期合约交割日之前。6个月期和12个月期的无风险复利利率分别为年利率9％和10％。求远期合约的价值。26解：S=900，K=910，r=0.10，T—t=1；且有：I=60e-0.09×0.5+60e-0.10×1.0=111.65所以远期合约多头的价值：f=900-111.65-910e-0.1×1.0=-35.05远期合约空头的价值为+35.05。注意，在本例中，在合约的开始和结束都没有应付利息。ISKeftTr)(27（二）支付已知现金收益证券远期（期货）合约的套利1、如果F*F，即说明远期合约价格相对于现货价格被高估，应该卖出远期合约，买进现货。例：一年后交割的息票债券远期合约的价格为930美元。债券的即期价格为900美元。预期债券在6个月后以及12个月后各支付40美元的利息。6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%。28①判断：期货价格被高估②套利：借入900美元（其中38.24美元以9%的年利率借入6个月，另外861.76美元以10%的年利率借入1年）购买一份债券现货。同时建立一年后交割的远期合约的空头。债券现货的首次利息支付40美元正好用来偿还6个月期38.24美元贷款的本利和。一年之后，收到第二次利息支付40美元，执行远期合约，交割现货得到价款930美元，同时支付861.76美元贷款的本利和93039.91240)24.38900()4040900(11.011.011.02/109.0eeee39.95276.86111.0e29该套利策略的净盈利为：美元61.1239.9529304024.38402/109.0e302、如果F*F，即说明远期合约价格相对于现货价格被低估，应该买进远期合约，卖出现货。例：一年后交割的息票债券远期合约的价格为905美元。债券的即期价格为900美元。预期债券在6个月后以及12个月后各支付40美元的利息。6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%。)(*)(tTreISF31①判断：期货价格被低估②套利：卖空债券现货，得价款900美元，其中38.24美元做6个月的无风险投资，861.76美元做1年期无风险投资。同时建立一份债券期货多头。此策略在6个月和12个月后分别产生40美元和952.39美元的现金流入。前面40美元用来支付6个月后的债券利息；后面952.39美元中40美元用来支付一年后的债券利息，905美元用来交割到期的远期合约，所得的债券用来平仓现货空头。该套利策略的净盈利为：为什么卖空债券者需要支付利息呢？P5390539.91240)24.38900()4040900(11.011.011.02/109.0eeee美元