等差数列经典总结及习题练习

等差数列1等差数列的定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2等差数列的判定方法:定义法：对于数列na，若daann1(常数)，则数列na是等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3等差数列的通项公式:如果等差数列na的首项是1a，公差是d，则等差数列的通项为dnaan)1(1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆该公式整理后是关于n的一次函数新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆类型一、等差数列的通项公式1在等差数列na中，若2a=4，4a=2，则6a=（0）2在等差数列na中，若7,331aa，则公差d（2）3在等差数列na中，若7,331aa，求数列na的通项公式12n4在等差数列na中，若7,335aa，求数列na的首项11a5在数列na中，01a，若111111nnaa，证明数列}11{na是等差数列提示：考查等差数列的通项公式和变形公式，dnaan)1(1和dmnaamn)(，上述表达式中，有四个变量，知道三个求第四个，习惯叫知三求一；如果知道首项1a和公差d，一般求表达式。类型二、等差数列的性质应用1在等差数列na中，若7,395aa，求7a52等差数列na中，若19,698251aaaaa，求1a13各项不为零．．．的等差数列}{na中，02211273aaa，则7a的值44已知数列}{na的通项公式是52nan，则此数列是（A）A以7为首项，公差为2的等差数列B以7为首项，公差为5的等差数列C以5为首项，公差为2的等差数列D以2为首项，公差为5的等差数列提示：（1）已知数列naaaa,,,,321是以公差为d的等差数列，那么121,,,,aaaannn是以公差为d的等差数列；12531,,,,naaaa是以公差为d2的等差数列。（2）在数列na中，bknan是以dk为首项，k为公差的等差数列。（3）对于等差数列na中，若qpmn，则qpmnaaaa。（4）对于等差数列na中，若qpn2，则qpnaaa2，那么数列na是pa和qa的等差中项。（5）对于数列na中，若212nnnaaa，则数列na是等差数列。（6）对于等差数列na中，必有112nnnaaa。类型二、等差数列的求和问题1等差数列}{na的前n项和为nS，已知8,643aS，则公差d（3）2已知等差数列}{na的前n项和为nS，若714S，则35aa的值为（2）3已知等差数列}{na的前n项和为nS，若28,884SS，则求12S的值604若两个等差数列na和nb的前n项和分别为nS和nT，且满足225nnTSnn，则88ba5215等差数列na的前n项和为nS，若535aa，则95SS9.6等差数列na的前n项和为nS，若2,111da，求nS的最大值367等差数列na的前n项和为nS，若4,11114SS，求15S的值-15提示：（1）设等差数列}{na的前n项和为nS，求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11。（2）等差数列中，,,mSnSnm即有)(nmSnm。（3）若等差数列na的前12n项的和为12nS，等差数列nb的前12n项的和为'12nS，则'1212nnnnSSba新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆nnanS)12(12.（4）BnAnndandSn212)2(2，形式类似二次函数，利用二次函数的思路求解；（5）设等差数列}{na的前n项和为nS，bSaSmm2,，则)(33abSm。（6）设等差数列}{na的前n项和为nS，mmmmmSSSSS232,,也是等差数列。习题类型一、等差数列的通项公式和性质1在等差数列na中，若7,331aa，则7a152等差数列na中，若7,395aa，求1a-13等差数列na中，若7,395aa，求数列}{12na通项公式32n4等差数列na中，若19,698251aaaaa，求1a15等差数列na中，若7,12391aaa，求7a56等差数列na中，若12,306951aaaa，求4a87等差数列na中，24a，4715aa，求数列na的通项公式；2nan8在等差数列na中，若2131mmmaaa，65ma，则公差d19等差数列na中，311,60nnaaa，则10a为（60）10在等差数列}{na中，已知1083aa，则753aa2011已知等差数列}{na中，若3,993aa，则公差d的值为（-1）12两个数1与-5的等差中项是（-2）13在等差数列}{na中，12,1331aa，若2na，则n等于（23）14一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（-4）15等差数列}{na中，7,10451aaa，则数列}{na的公差为（2）16等差数列{na}中，34574,6aaaa，求{na}的通项公式；235nna17数列}{na的首项为3，}{nb为等差数列且nnnaab1，若12,2103bb，则3a（-7）18在等差数列na中，2,365aa，则1054aaa=-4919已知数列na中，Nnaaann3111,111，则50a=4120在等差数列中，1a与11a是方程2270xx的两根，则6a为4121等差数列na中，已知1251,4,33,3naaaan则为5022若)32lg(),12lg(,2lgxx成等差数列，则x等于___5log2_____23三个数成等差数列，和为12，积为48，求这三个数。2,4,6或6，4，224若na为等差数列，2a，10a是方程0532xx的两根，则75aa___3_________。25已知数列na中，1,275aa，又数列{11na}为等差数列，则5a___57_____26数列na满足：nnnaaaaa12212,6,3，2004a=601227在等差数列na中，nam，man(m,n∈N+),则nma028等差数列{na}中，33,39852741aaaaaa，求963aaa2729等差数列{na}中，77,17146541074aaaaaaa，如果13ka，求k1830等差数列{na}中，12031581aaa，求1092aa2431设等差数列{}na的公差为d，若数列1{2}naa为递减数列，则（D）A．0dB．0dC．10adD．10ad32设na是等差数列.下列结论中正确的是（C）A．若120aa，则230aaB．若130aa，则120aaC．若120aa，则213aaaD．若10a，则21230aaaa33下面是关于公差0d的等差数列na的四个命题，其中的真命题为：14,pp1:npa数列是递增数列；2:npna数列是递增数列；3:napn数列是递增数列；4:3npand数列是递增数列；34中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为____5____35等差数列}{na中，5,10105aa，则15a的值为036已知方程0)2)(2(22nxxmxx的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则||nm2137若,ab是函数20,0fxxpxqpq的两个不同的零点，且,,2ab这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于__9_38已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（25）39一个等差数列}{na中，前四项是xbxa2,,,，则ab等于340在x和y之间插入n个实数，使它们与xy，组成等差数列，则此数列的公差为1nxy41首相为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围338d42已知函数2)(xxf，在首项为整数，公差为2的等差数列}{na中，若116)()()(742afafaf，求1a-243等差数列}{na中，51a，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是第项．44三个实数cba,,成等差数列，且81cba，又2,1,14abc也成等差数列，求cba的值67类型二、等差数列的求和1在等差数列na中，284aa,则其前9项的和9S等于（18）2在项数为n的等差数列na中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n项之和为240，则n=10。3已知数列}{na中，11a，211nnaa（2n），则数列}{na的前9项和等于27.4等差数列{}na的前n项和nS，若132,12aS，则6a(12)5记nS为等差数列{}na的前n项和．若4524aa，648S，则{}na的公差为46设nS为等差数列na的前n项和，若5,10105SS,则公差为-17等差数列na的前n项和为nS，若1845aa，则8S等于188已知等差数列na的前n项和为nS，若6318aa，则8S=（18）9已知等差数列na的前n项和为nS，若61319aa，则18S=（19）10已知等差数列na满足10,45342aaaa，则它的前10项的和10S=（95）11等差数列na中，40,19552Saa，则1a=212设公差不为0的等差数列na的前n项和为nS，若0,218kaSS，则k（15）13已知{}na是等差数列，nS是其前n项和，若10,35221Saa，则9a的值是20。14已知{}na是公差为1的等差数列，nS为{}na的前n项和，若844SS，则10a（192）15设等差数列na的前n项和为nS，且53655,SS则4a4116设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=24。17设等差数列na的前n项和为nS，,4,84111073aaaaa，则13S等于5218已知等差数列na中，20132,aa是方程022