高二数学椭圆专题详细解析

..朗培教育椭圆专题解析1.椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21FF、的距离之和为常数|)|2(222FFaa的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定点21FF、叫椭圆的焦点.当21212FFaPFPF时,P的轨迹为椭圆;;当21212FFaPFPF时,P的轨迹不存在;当21212FFaPFPF时,P的轨迹为以21FF、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(10e)的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay性质参数关系222cba焦点)0,(),0,(cc),0(),,0(cc焦距c2范围byax||,||bxay||,||顶点),0(),,0(),0,(),0,(bbaa)0,(),0,(),,0(),,0(bbaa对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率)1,0(ace准线cax2cay2考点1椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用[例1](湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能[解析]按小球的运行路径分三种情况:(1)ACA,此时小球经过的路程为2(a－c);(2)ABDBA,此时小球经过的路程为2(a+c);OxyDPABCQ..(3)AQBPA此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】1.短轴长为5，离心率32e的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（）A.3B.6C.12D.24[解析]C.长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=122.已知P为椭圆2212516xy上的一点，,MN分别为圆22(3)1xy和圆22(3)4xy上的点，则PMPN的最小值为（）A．5B．7C．13D．15[解析]B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，10||||PDPC，PMPN的最小值为10-1-2=7题型2求椭圆的标准方程[例2]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数cba,,的式子“描述”出来[解析]设椭圆的方程为12222byax或)0(12222baaybx，则222)12(4cbacacb，解之得：24a，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为1163222yx或1321622yx.【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数cba,,的数量关系．［警示］易漏焦点在y轴上的情况．【新题导练】3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.[解析](0,1).椭圆方程化为22x+ky22=1.焦点在y轴上，则k22，即k1.又k0，∴0k1.4.已知方程),0(,1sincos22yx,讨论方程表示的曲线的形状[解析]当)4,0(时，cossin，方程表示焦点在y轴上的椭圆，当4时，cossin，方程表示圆心在原点的圆，当)2,4(时，cossin，方程表示焦点在x轴上的椭圆..5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.[解析]caca23332ca，3b，所求方程为122x+92y=1或92x+122y=1.考点2椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）[例3]在ABC△中，3,2||,300ABCSABA．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e．【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率[解析]3sin||||21AACABSABC，32||AC，2cos||||2||||||22AACABACABBC2132322||||||BCACABe【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（2）只要列出cba、、的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）（3）“焦点三角形”应给予足够关注【新题导练】6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为A.45B.23C.22D.21[解析]选B7.已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆122nymx的离心率为[解析]由02222mnnmnnmn42nm，椭圆122nymx的离心率为22题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）[例4]已知实数yx,满足12422yx,求xyx22的最大值与最小值【解题思路】把xyx22看作x的函数[解析]由12422yx得22212xy,..2202122xx]2,2[,23)1(212212222xxxxxyx当1x时,xyx22取得最小值23,当2x时,xyx22取得最大值6【新题导练】9.已知点BA,是椭圆22221xymn（0m，0n）上两点,且BOAO,则=[解析]由BOAO知点BOA,,共线,因椭圆关于原点对称,110.如图，把椭圆2212516xy的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,PPPPPPP七个点，F是椭圆的一个焦点则1234567PFPFPFPFPFPFPF________________［解析］由椭圆的对称性知：352536271aFPFPFPFPFPFP．考点3椭圆的最值问题[例5]椭圆191622yx上的点到直线l:09yx的距离的最小值为___________．【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数[解析]在椭圆上任取一点P,设P(sin3,cos4).那么点P到直线l的距离为：|9)sin(5|2211|12sin3cos4|22.22【名师指引】也可以直接设点),(yxP，用x表示y后，把动点到直线的距离表示为x的函数，关键是要具有“函数思想”【新题导练】11.椭圆191622yx的内接矩形的面积的最大值为[解析]设内接矩形的一个顶点为)sin3,cos4(，矩形的面积242sin24cossin48S12.P是椭圆12222byax上一点，1F、2F是椭圆的两个焦点，求||||21PFPF的最大值与最小值[解析]],[||,)|(||)|2(||||||12211121cacaPFaaPFPFaPFPFPF..当aPF||1时，||||21PFPF取得最大值2a，当caPF||1时，||||21PFPF取得最小值2b13.已知点P是椭圆1422yx上的在第一象限内的点，又)0,2(A、)1,0(B，O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是_________．[解析]设)2,0(),sin,cos2(P，则cos221sin21OBOASSSOPBOPAOAPB2cossin考点4椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题[例6]已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且PBAP3．（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围．【解题思路】通过PBAP3，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式[解析]（1）由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设2222:1(0)yxCabab由条件知1a且bc，又有222abc，解得21,2abc故椭圆C的离心率为22cea，其标准方程为：12122xy（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）y＝kx＋m2x2＋y2＝1得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）0（*）x1＋x2＝－2kmk2＋2，x1x2＝m2－1k2＋2∵AP＝3PB∴－x1＝3x2∴x1＋x2＝－2x2x1x2＝－3x22消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（－2kmk2＋2）2＋4m2－1k2＋2＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0..m2＝14时，上式不成立；m2≠14时，k2＝2－2m24m2－1，因λ＝3∴k≠0∴k2＝2－2m24m2－10，∴－1m－12或12m1容易验证k22m2－2成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（－1，－12）∪（12，1）【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能【新题导练】14.设过点yxP,的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若PABP2，且1ABOQ，则P点的轨迹方程是（）A.0,0132322yxyxB.0,0132322yxyxC.0,0123322yxyxD.0,0123322yxyx[解析]),(),3,23(yxOQyxAB132322yx，选A.15.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=22。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）由题设可得2222322)22(222||||||||22CBCAPBPA∴动点P的轨迹方程为)0(12222babyax，则1.1,222cabca∴曲线E方程为1222yx（2）直线MN的方程为),(),,,(),,(),1(221111yxNyxMyxMxky设设由0)1(24)21(022)1(222222kxkxkyxxky得0882k..∴方程有两个不等的实数根2221222121)1(2,224xkkxxkkx),1(),,1(2211yxBNyxBM)1)(1()1)(1()1)(1(112212121xxkxxyyxxBNBM22122121))(1()1(kxxkxxk22222222221171)214)(1(21)1(2)1(kkkkkkkkk∵∠MBN是钝角0BNBM即0211722kk解得：7777k又M、B、N三点不共线0k综上所述，k的取值范围是)77,0()0,77(基础巩固训练且901BDB,则1.如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线1AB与BF交于D,椭圆的离心率