高数中需要掌握证明过程的定理(一)

高数中的重要定理与公式及其证明（一）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。1）常用的极限0ln(1)lim1xxx，01lim1xxex，01limlnxxaax，0(1)1limaxxax，201cos1lim2xxx【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限10lim(1)xxxe与0sinlim1xxx的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。证明：0ln(1)lim1xxx：由极限10lim(1)xxxe两边同时取对数即得0ln(1)lim1xxx。01lim1xxex：在等式0ln(1)lim1xxx中，令ln(1)xt，则1txe。由于极限过程是0x，此时也有0t，因此有0lim11ttte。极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x，再取倒数即得01lim1xxex。01limlnxxaax：利用对数恒等式得ln0011limlimxxaxxaexx，再利用第二个极限可得lnln0011limlnlimlnlnxaxaxxeeaaxxa。因此有01limlnxxaax。0(1)1limaxxax：利用对数恒等式得ln(1)ln(1)ln(1)00000(1)111ln(1)1ln(1)limlimlimlimlimln(1)ln(1)aaxaxaxxxxxxxeexexaaaxxaxxaxx上式中同时用到了第一个和第二个极限。201cos1lim2xxx：利用倍角公式得22220002sinsin1cos1122limlimlim222xxxxxxxxx。2）导数与微分的四则运算法则'''''''''22(),d()(),d()(),d()(0)uvuvuvdudvuvuvuvuvvduudvuvuuvuvduudvvvvvv【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。3）链式法则设(),()yfuux，如果()x在x处可导，且()fu在对应的()ux处可导，则复合函数(())yfx在x处可导可导，且有：'''(())()()dydydufxfuxdxdudx或【点评】：同上。4）反函数求导法则设函数()yfx在点x的某领域内连续，在点0x处可导且'()0fx，并令其反函数为()xgy，且0x所对应的y的值为0y，则有：'0''00111()()(())dxgydyfxfgydydx或【点评】：同上。5）常见函数的导数'1xx，'sincosxx，'cossinxx，'1lnxx，'1loglnaxxa，'xxee，'lnxxaea【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明：'1xx：导数的定义是'0()()()limxfxxfxfxx，代入该公式得'1100(1)1(1)1()limlimxxxxxxxxxxxxxxxxx。最后一步用到了极限0(1)1limaxxax。注意，这里的推导过程仅适用于0x的情形。0x的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。'sincosxx：利用导数定义'0sin()sinsinlimxxxxxx，由和差化积公式得002cos()sinsin()sin22limlimcosxxxxxxxxxxx。'cossinxx的证明类似。'1lnxx：利用导数定义'00ln(1)ln()ln1lnlimlimxxxxxxxxxxx。'1loglnaxxa的证明类似（利用换底公式lnloglnaxxa）。'xxee：利用导数定义()'001limlimxxxxxxxxxeeeeeexx。'lnxxaea的证明类似（利用对数恒等式lnxxaae）。6）定积分比较定理如果在区间[,]ab上恒有()0fx，则有()0bafxdx推论：ⅰ如果在区间[,]ab上恒有()()fxgx，则有()()bbaafxdxgxdx；ⅱ设Mm和是函数()fx在区间[,]ab上的最大值与最小值，则有：()()()bambafxdxMba【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。7）定积分中值定理设函数()fx在区间[,]ab上连续，则在积分区间[,]ab上至少存在一点使得下式成立：()()()bafxdxfba【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。8）变上限积分求导定理如果函数()fx在区间[,]ab上连续，则积分上限的函数()()xaxfxdx在[,]ab上可导，并且它的导数是'()()(),xadxfxdxfxaxbdx设函数()()()()uxvxFxftdt，则有'''()(())()(())()Fxfuxuxfvxvx。【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。9）牛顿-莱布尼兹公式如果函数()fx在区间[,]ab上连续，则有()()()bafxdxFbFa，其中()Fx是()fx的原函数。【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。具体证明过程见教材。10）费马引理：设函数()fx在点0x的某领域0()Ux内有定义，并且在0x处可导，如果对任意的0()xUx，有00()()()()fxfxfxfx或，那么'0()0fx【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。11）罗尔定理：如果函数()fx满足（1）在闭区间[,]ab上连续；（2）在开区间(,)ab上可导（3）在区间端点处的函数值相等，即()()fafb那么在(,)ab内至少存在一点()ab，使得'()0f。【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过程见教材。12）拉格朗日中值定理：如果函数()fx满足（1）在闭区间[,]ab上连续；（2）在开区间(,)ab上可导那么在(,)ab内至少存在一点()ab，使得'()()()fbfafba。【点评】：同上。13）柯西中值定理：如果函数()fx和()gx满足（1）在闭区间[,]ab上连续；（2）在开区间(,)ab上可导那么在(,)ab内至少存在一点()ab，使得''()()()()()()ffbfaggbga。【点评】：同上。14）单调性定理：设函数()fx在[,]ab上连续，在(,)ab上可导。如果在(,)ab上有'()0fx，那么函数()fx在[,]ab上单调递增。如果在(,)ab上有'()0fx，那么函数()fx在[,]ab上单调递减。【点评】：这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不能用图形来解释，需要更严密的证明过程。证明：仅证明'()0fx的情形，'()0fx的情形类似。12,(,)xxab，假定12xx则利用拉个朗日中值定理可得，22,xx使得'1212()()()fxfxfxx。由于'0f，因此12()()0fxfx。由12,xx的任意性，可知函数()fx在[,]ab上单调递增。14）(极值第一充分条件)设函数()fx在0x处连续，并在0x的某去心邻域0(,)Ux内可导。ⅰ）若00(,)xxx时，'()0,fx而00(,)xxx时，'()0,fx则()fx在0x处取得极大值ⅱ）若00(,)xxx时，'()0,fx而00(,)xxx时，'()0,fx则()fx在0x处取得极小值；ⅲ）若0(,)xUx时，'()fx符号保持不变，则()fx在0x处没有极值；【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。15）(极值第二充分条件)设函数()fx在0x处存在二阶导数且'0()0fx，那么ⅰ）若''0()0,fx则()fx在0x处取得极小值；ⅱ）若''0()0,fx则()fx在0x处取得极大值。【点评】：这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。证明：仅证明''0()0,fx的情形，''0()0,fx的情形类似。由于()fx在0x处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在0x的某领域内成立220'''00000()2xxfxfxfxxxfxoxx由于'0()0fx，因此220''0002''0200020()22xxfxfxfxoxxoxxfxfxxxxx由高阶无穷小的定义可知，当0xx时，有20200oxxxx，又由于''002fx，因此在0x的某领域内成立2''002002oxxfxxx。进一步，我们有2''020000202oxxfxfxxxfxxx。也即，在0x的某领域内成立0()fxfx。由极值点的定义可知()fx在0x处取得极小值。16）洛必达法则设函数(),()fxgx在xa的空心邻域内可导，'()0gx，且''()lim()xafxAgx则有()lim()xafxAgx，其中A可以是有限数，也可以是,。【点评】：洛必达法则是计算极限时最常用的方法，但它的证明却很少有人关注。洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论，证明过程比较简单，也是一个潜在的考点，需要引起注意。具体证明过程见教材。