矩阵论总结

11．线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用zyx,,等表示；K是一个数域，其元素用mlk,,等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类]:（I）在V中定义一个“加法”运算，即当Vyx∈，时，有唯一的和Vyx∈+（封闭性），且加法运算满足下列性质:（1）结合律zyxzyx++=++)()(；（2）交换律xyyx+=+；（3）零元律存在零元素O，使xOx=+；（4）负元律对于任一元素Vx∈，存在一元素Vy∈，使Oyx=+，且称y为x的负元素，记为)(x−。则有Oxx=−+)(。（II）在V中定义一个“数乘”运算，即当KkVx∈∈,时，有唯一的Vkx∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质:（5）数因子分配律kykxyxk+=+)(；（6）分配律lxkxxlk+=+)(；（7）结合律xkllxk)()(=；（8）恒等律xx=1；[数域中一定有1]2．线性变换的性质（类似线性空间定义逐条）：线性变换的运算（1）恒等变换eT：,exVTxx∀∈=（2）零变换0T：0,0xVTx∀∈=（3）变换的相等：1T、2T是V的两个线性变换，xV∀∈，均有12TxTx=，则称12TT=（4）线性变换的和12TT+：xV∀∈，1212()TTxTxTx+=+（5）线性变换的数乘kT：xV∀∈，()()kTxkTx=负变换：()()TxTx−=−（6）线性变换的乘积12TT：xV∀∈，1212()()TTxTTx=（7）逆变换1T−：xV∀∈，若存在线性变换S使得()STxx≡，则称S为T的逆变换1ST−=（8）线性变换的多项式：43421L个nnTTTT=，并规定0eTT=0()NnnnfTaT==∑→0()NnnnfTxaTx==∑3．Euclid空间（实内积空间、欧氏空间）【酉空间（复内积空间）类似】设V是实线性空间（Rk∈），对于V中任何两个元素x、y均按某一规则存在一个实数与之对应记为(),xy，若它满足（1）交换律()(),,xyyx=（3）齐次律()(),,kxykxy=（2）分配律()()(),,,xyzxyxz+=+（4）非负性(),0xx≥，当且仅当0x=时，(),0xx=4．范数向量范数定义：设V为数域K上的向量空间，若对于V的任一向量x，对应一个实值函数x，并满足：（1）非负性x0≥，等号当且仅当x=0时成立；（2）齐次性：xx,k,xV;α=αα∈∈（3）三角不等式xyxy,x,yV+≤+∈。则称x为V中向量x的范数，简称为向量范数。矩阵范数定义：设mnk(kcR)×=或表示数域k上全体mn×阶矩阵的集合。若对于mnk×中任一矩阵A，均对应一个实值函数，并满足以下四个条件：（1）非负性A0≥，等号当且仅当A=0成立；（2）齐次性：AA,k;α=αα∈（3）三角不等式mnABAB,A,Bk×+≤+∈（4）相容性：ABAB≤2常用向量范数：1范数：ni1i1x1==ξ=∑，2范数（欧氏长度）：2x=1n22ii1=⎛⎞ξ⎜⎟⎝⎠∑∞范数：x∞=1nppii1ini1pmax≤≤=→∞⎛⎞ξ=ξ⎜⎟⎝⎠∑常用矩阵范数：列（和）范数：nij11jni1Amaxa≤≤==∑谱范数：Hi21inAmax(AA)≤≤=λ行（和）范数：nij1imj1Amaxa∞≤≤==∑F范数：A)tr(AAH=∞5．基变换与坐标变换新基（Y）旧基（X）过渡阵（C可逆）[][][]Cxxxcccccccccxxxyyynnnnnnnnn,,,,,,212122221112112121LLMOMMLLLL=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=X、Y到简单基的过渡阵分别为C1、C2，则C=C1-1C2。()()21121CCICC−→MM新基坐标旧基坐标⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−nnnnCCξξξξξξξξξξξξMMMM211''2'121''2'1[][]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nnnnxxxyyyξξξξξξMLML2121''2'121,,,,6．线性变换矩阵表示[][][]AxxxaaaaaaaaaxxxxxxTnnnnnnnnn,,,,,,,,,212122212121112121LLMOMMLLLL=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=[][]By,,y,yy,yyTnnLL2121=,,1BCAC−=（A和B为相似阵）即同一线性变换在不同基下的矩阵为相似矩阵。3T在nV的基{}nxxx,,,21L下的矩阵为A，元素x在该基下的坐标为),,,(21nξξξL，则Tx在该基下的坐标),,,(21nηηηL满足⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nnAξξξηηηMM2121（1）[][])(,,,,,,)(212121BAxxxxxxTTnn+=+LL（2）[][])(,,,,,,21211kAxxxxxxkTnnLL=（3）[][])(,,,,,,)(212121ABxxxxxxTTnnLL=（4）[][]121211,,,,,,−−=AxxxxxxTnnLL7．矩阵的迹与行列式1trniiiAa==∑所有对角元素之和；1trniiAλ==∑1detniiAλ==∏tr()tr()ABBA=det()det()mnmnIABIBAλλλ−−=−AB与BA的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同（sylvster定理）。8．相似矩阵可逆矩阵P，1BPAP−=，A~B（A和B为相似矩阵）。相似矩阵具有相同的特征多项式→相同的特征值、迹、行列式。det()det()det()ABAB=任何n阶矩阵与三角矩阵相似。1111det()det[()]det()det()det()det()det()det()det()IPAPPIAPPIAPPPIAIAλλλλλ−−−−−=−=−=−=−9．对角矩阵n阶方阵A与对角阵相似（即可对角化）⇔A具有n个线性无关的特征向量。n阶方阵有n个互异的特征值，则必可对角化。10．正交矩阵性质（1）正交矩阵是非奇异的。（2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵。（3）两个正交矩阵的乘积仍为正交矩阵。∵QTQ=I∴|QTQ|=|QT|Q|=|Q|×|Q|=|Q|2=1,|Q|±1(Q-1)TQ-1=(QT)-1Q-1=(QTQ)-1=I11．实对称矩阵性质（1）实对称阵的特征值都是实数。（2）实对称阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的。（3）实对称阵正交相似与对角阵。(Q1Q2)T(Q1Q2)=Q2TQ1TQ1Q2=Q2TQ2=I412．正规矩阵实对称矩阵实对称矩阵：TAA=实反对称矩阵：TAA=−正交矩阵正交矩阵：TTAAAAI==（1TAA−=）正交相似变换P为正交矩阵，1PAP−为对A的正交相似变换；正规矩阵TTAAAA=Hermit矩阵（复对称阵）Hermit矩阵：HAA=反Hermit矩阵：HAA=−酉矩阵酉矩阵：HHAAAAI==（1HAA−=）酉相似变换P为酉矩阵，1PAP−为对A的酉相似变换。复正规矩阵HHAAAA=13．Jordan标准形任一n阶方阵A都与一个Jordan标准形相似。（即任一方阵都可Jordan化，P-1AP=J）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(0)(0)(2211ssJJJJλλλO，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=iiiiiJλλλλ0101)(OOsλλλ,,,21L为A的特征值，可以是多重的。（1）Jordan标准形的求法a.求出特征矩阵()IAλ−的初等因子组，设为()11mλλ−、()22mλλ−、L、()smsλλ−。b.写出各Jordan块矩阵（一个初等因子对应一个Jordan块矩阵）c.合成Jordan矩阵：()()×⎡⎤⎢⎥⎢⎥−→=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1010OOiiiiimiiiimmJλλλλλλ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=sJJJJ0021O（2）Jordon标准形变换矩阵的求法1PAPJ−=→APPJ=a.将P按J的结构写成列块的形式[]列列列rrmmmPPPP2121↑↑↑=L→[][]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=rrrJJJPPPPPPAOLL212121→),2,1(riJPAPiiiL==5b.求解r个矩阵方程),2,1(riJPAPiiiL==c.将r个iP合成变换矩阵[]rPPPPL21=14．矩阵函数L++++=323!12!1AAAIeAL++−=424!12!1AAIAcosL++−=535!13!1AAAAsincossinjAeAjA=+1cos()2jAjAAee−=+1sin()2jAjAAeej−=−cos()cosAA−=sin()sinAA−=−（1）ABBA=,则ABABBAeeeee+==（2）0AAAAeeeeeI−−===,1(),()AAAmmAeeee−−==，Ae总存在逆阵。Hamilton-Cayley定理：n阶矩阵A是其特征多项式的零点，即令111()det()nnnnIAcccϕλλλλλ−−=−=++++L则111()0nnnnAAcAcAcIϕ−−=++++=L最小多项式：)(λm首项系数是1，次数最小，且以矩阵A为根的λ的多项式。（1）利用Jordan标准形求矩阵函数。1PAPJ−=,()1()211()()()fJfJfAPfJPPPfJs⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦OO()()111()()()()1!()2!iiiiiiiiimffffmfJmmλλλλ−⎡⎤′′′⎢⎥−=⎢⎥⎢⎥⎣⎦×LOOO6（2）待定系数法求矩阵函数。)()()()(λgλqλmλf+=，)(λm最高次为m，12101210()mimimigcccccλλλλλ−−−===++++∑L()()()()kkiigfλλ=(1,2,,;1,2,,)ikmir==LL∴()()fAgA=15．矩阵的满秩分解m×n阶矩阵A分解成列满秩矩阵F和行满秩矩阵G：A=FG。A秩r，则F为m×r阶，G为r×n阶。（1）满秩分解不唯一。rrrDC×∀∈（r阶可逆方阵），则1111AFGF(DD)G(FD)(DG)FG−−====，且mrrn1r1rFC,GC××∈∈（2）任何非零矩阵均存在满秩矩阵（3）Hermite标准形（行阶梯标准形）mnrBC(r0)×∈a.B的前r行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后(mr)−行的元素全为零（称为零行）；b.若B中第i行的第一个非零元素（即1）在第ij列(i1,2,...,r)=，则12rjj...j;c.矩阵B的第1j列，第2j列，…,第rj列合起来恰为m阶单位方阵mI的前r列（即12rj,j,...,j列上除了前述的1外全为0）则称B为Hermite标准形。（4）求法求法1：()()][,SFPGBPBIAMMM=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→−10求法2：()()矩阵。行构成的的前为矩阵，列构成的，，，的为nrrBGrmjjjAFBAr××…→2116．正定矩阵A是n阶Hermit矩阵（对称阵），xHAx0(xTAx0)⇒A为正定阵。A正定⇔（1）A的特征值全为正。（2）A的各阶顺序主子式都为正。（3）A=PHP(A=PTP)，P为可逆阵，进一步，A=B2，B为正定阵。【正定阵平方分解】A正定⇒（1）k0,则kA也正定。（2）B正定，则A+B也正定。（3）B正定，AB=BA，则AB也正定。（4）A-1也正定。A,B均为n阶Hermit矩阵，且B正定⇒存在可逆阵Q，使QHBQ=I,QHAQ=Λ。