2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷

第1页（共20页）2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列四条线段能成比例线段的是（）A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．2，2，3，3D．2，3，4，52．（4分）如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，那么b：c等于（）A．4：3B．3：4C．2：3D．3：23．（4分）如果△ABC中，∠C＝90°，sinA=12，那么下列等式不正确的是（）A．𝑐𝑜𝑠𝐴=√22B．𝑐𝑜𝑡𝐴=√3C．𝑠𝑖𝑛𝐵=√32D．𝑡𝑎𝑛𝐵=√34．（4分）下列关于向量的运算中，正确的是（）A．𝑎→−𝑏→=𝑏→−𝑎→B．−2(𝑎→−𝑏→)=−2𝑎→+2𝑏→C．𝑎→+(−𝑎→)=0D．0+𝑎→=𝑎→5．（4分）如果二次函数中函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…−1201212…y…−34321463…那么这个二次函数的图象的对称轴是直线（）A．x＝0B．𝑥=12C．𝑥=34D．x＝16．（4分）如果以a、b、c为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，那么a与b的比值不可能为（）A．23B．34C．45D．56二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果𝑥𝑥−𝑦=53，那么𝑥𝑦=．8．（4分）等边三角形的中位线与高之比为．9．（4分）如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为．10．（4分）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝6，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝1，如果△ABC∽△ADE，那么AE＝．第2页（共20页）11．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如果点G为重心，那么∠GCB的余切值为．12．（4分）如果开口向下的抛物线y＝ax2+5x+4﹣a2（a≠0）过原点，那么a的值是．13．（4分）如果抛物线y＝﹣2x2+bx+c的对称轴在y轴的左侧，那么b0（填入“＜”或“＞”）．14．（4分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线y＝x2+2x+m上，如果0＜x1＜x2，那么y1y2（填入“＜”或“＞”）．15．（4分）如图，AG∥BC，如果AF：FB＝3：5，BC：CD＝3：2，那么AE：EC＝．16．（4分）如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是cm．17．（4分）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上时，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上，此时我们称抛物线C1与C2是“互为关联”的抛物线．那么与抛物线y＝2x2是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是（只需写出一个）．18．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，将此三角形绕点A旋转，当点B落在直线BC上的点D处时，点C落在点E处，此时点E到直线BC的距离为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，点E为边AD的中点，CE交BD于点G．第3页（共20页）（1）求𝑂𝐺𝐷𝐺的值；（2）如果设𝐴𝐵→=𝑎→，𝐵𝐶→=𝑏→，试用𝑎→、𝑏→表示𝐺𝑂→．20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（1，﹣2）和（﹣1，0）和（0，−32）．（1）求此二次函数的解析式；（2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少5点）．21．（10分）如图，AD是△ABC的中线，tanB=15，cosC=√22，AC=√2．求：（1）BC的长；（2）∠ADC的正弦值．22．（10分）某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大树顶端A的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角为45°，已知点F、G与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH和树叶部分的高度AB．第4页（共20页）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠ACD＝∠B＝∠BAE．（1）求证：𝐴𝐷𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐴𝐶；（2）当点E为CD中点时，求证：𝐴𝐸2𝐶𝐸2=𝐴𝐵𝐴𝐷．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，2），它的顶点为D（1，m），且tan∠COD=13．（1）求m的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．若点A是由原抛物线上的点E平移所得，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点（位于x轴上方），且∠APB＝45°．求P点的坐标．25．（14分）已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，AB＝6，DF⊥DC分别交射线AB、射线CB于点E、F．第5页（共20页）（1）当点E为边AB的中点时（如图1），求BC的长；（2）当点E在边AB上时（如图2），联结CE，试问：∠DCE的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE的正切值；若不确定，则设AE＝x，∠DCE的正切值为y，请求出y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△AEF的面积为3时，求△DCE的面积．第6页（共20页）2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列四条线段能成比例线段的是（）A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．2，2，3，3D．2，3，4，5【解答】解：A、1：2≠1：3，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；B、1：3≠2：4，则a：b≠c：d．故a，b，d，c不成比例；C、2：2＝3：3，即b：a＝c：d，故b，a，c，d成比例；D、2：4≠3：5，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例．故选：C．2．（4分）如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，那么b：c等于（）A．4：3B．3：4C．2：3D．3：2【解答】解：∵a：b＝3：2，b是a和c的比例中项，即a：b＝b：c，∴b：c＝3：2．故选：D．3．（4分）如果△ABC中，∠C＝90°，sinA=12，那么下列等式不正确的是（）A．𝑐𝑜𝑠𝐴=√22B．𝑐𝑜𝑡𝐴=√3C．𝑠𝑖𝑛𝐵=√32D．𝑡𝑎𝑛𝐵=√3【解答】解：设BC＝1，∵△ABC中，∠C＝90°，sinA=12，∴AB＝2，AC=√3，∴cosA=√32，故A选项错误；𝑐𝑜𝑡𝐴=√3，故B选项正确；𝑠𝑖𝑛𝐵=√32，故C选项正确；𝑡𝑎𝑛𝐵=√3，故D选项正确；故选：A．4．（4分）下列关于向量的运算中，正确的是（）第7页（共20页）A．𝑎→−𝑏→=𝑏→−𝑎→B．−2(𝑎→−𝑏→)=−2𝑎→+2𝑏→C．𝑎→+(−𝑎→)=0D．0+𝑎→=𝑎→【解答】解：A、𝑎→−𝑏→=−𝑏→+𝑎→，故本选项错误．B、−2(𝑎→−𝑏→)=−2𝑎→+2𝑏→，故本选项正确．C、𝑎→+（−𝑎→）=0→，故本选项错误．D、0→+𝑎→=𝑎→，故本选项错误．故选：B．5．（4分）如果二次函数中函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…−1201212…y…−34321463…那么这个二次函数的图象的对称轴是直线（）A．x＝0B．𝑥=12C．𝑥=34D．x＝1【解答】解：∵x＝0、x＝2时的函数值都是3相等，∴此函数图象的对称轴为直线x=0+22=1．故选：D．6．（4分）如果以a、b、c为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，那么a与b的比值不可能为（）A．23B．34C．45D．56【解答】解：∵以a、b、c为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，∴a：b＝4：5或5：6或2：3，故选：B．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果𝑥𝑥−𝑦=53，那么𝑥𝑦=52．【解答】解：𝑥𝑥−𝑦=53，𝑥−𝑦𝑥=35，第8页（共20页）1−𝑦𝑥=35，𝑦𝑥=25，𝑥𝑦=52．故答案为：52．8．（4分）等边三角形的中位线与高之比为1：√3．【解答】解：设等边三角形的边长为2a，则中位线长为a，高线的长为√(2𝑎)2−𝑎2=√3a，所以等边三角形的中位线与高之比为a：√3a＝1：√3，故答案为：1：√3．9．（4分）如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为10．【解答】解：设较大三角形的周长为x，∵两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，∴两个相似三角形的周长比为2：3，∴4𝑥=23，解得，x＝6，∴这两个三角形的周长和＝4+6＝10，故答案为：10．10．（4分）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝6，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝1，如果△ABC∽△ADE，那么AE＝53．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，∴𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐶，即13=𝐴𝐸5，解得，AE=53，故答案为：53．第9页（共20页）11．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如果点G为重心，那么∠GCB的余切值为4．【解答】解：作AD⊥BC于D，则点G在AD上，连接GC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD=12BC＝4，由勾股定理得，AD=√𝐴𝐶2−𝐶𝐷2=3，∵G为△ABC的重心，∴DG=13AD＝1，∴cot∠GCB=𝐶𝐷𝐷𝐺=4，故答案为：4．12．（4分）如果开口向下的抛物线y＝ax2+5x+4﹣a2（a≠0）过原点，那么a的值是﹣2．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+5x+4﹣a2（a≠0）过原点，且开口向下，∴{𝑎＜04−𝑎2=0，解得：a＝﹣2．故答案为：﹣2．13．（4分）如果抛物线y＝﹣2x2+bx+c的对称轴在y轴的左侧，那么b＜0（填入“＜”或“＞”）．【解答】解：由对称轴可知：x=𝑏4＜0，∴b＜0，故答案为：＜第10页（共20页）14．（4分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线y＝x2+2x+m上，如果0＜x1＜x2，那么y1＜y2（填入“＜”或“＞”）．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=−22=−1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，因为0＜x1＜x2，所以y1＜y2．故答案为＜．15．（4分）如图，AG∥BC，如果AF：FB＝3：5，BC：CD＝3：2，那么AE：EC＝3：2．【解答】解：∵AG∥BC，∴△AGF∽△BDF，∴𝐴𝐺𝐵𝐷=𝐴𝐹𝐹𝐵=35，设AG＝3k，BD＝5k，∵𝐵𝐶𝐶𝐷=32，∴𝐶𝐷𝐵𝐷=25∴CD＝2k，∵AG∥CD，∴△AGE∽△CDE，∴𝐴𝐸𝐶𝐸=𝐴𝐺𝐶𝐷=3𝑘2𝑘=32，故答案为3：2．16．（4分）如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是270cm．第11页（共20页）【解答】解：由题意得，BH⊥AC，则BH＝18×4＝72，∵斜坡BC的坡度i＝1：5，∴CH＝72×5＝360，∴AC＝360﹣30×3＝270（cm），故答案为：270．17．（4分）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上时，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上，此时我们称抛物线C1与C2是“互为关联”的抛物线．那么与抛物线y＝2x2是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是y＝﹣2（x﹣1）2+2，（答案不唯一）（只需写出一个）．【解答】解：由抛物线y＝2x2可知顶点为（0，0），设“互为关联”的抛物线为y＝a（