实验9-傅立叶的空间频谱与空间滤波实验

-75-傅立叶光学的空间频谱与空间滤波实验实验说明书北京方式科技有限责任公司-76-实验目的1、了解透镜的傅里叶变换性质，加深对空间频率、空间频谱和空间滤波等概念的理解。2、熟悉阿贝成像原理，从信息量的角度理解透镜孔径对分辨率的影响。3、完成一维空间滤波、二维空间滤波及高通空间滤波。实验原理1873年阿贝（E.Abbe）首先提出显微镜成像原理以及随后的阿贝—波特空间滤波实验，在傅里叶光学早期发展史上做出重要的贡献。这些实验简单、形象，令人信服，对相干光成像的机理及频谱分析和综合原理做出深刻的解释，同时这种用简单的模板作滤波的方法一直延续至今，在图像处理技术中仍然有广泛的应用价值。1、二维傅里叶变换和空间频谱在信息光学中常用傅里叶变换来表达和处理光的成像过程。设在物屏X-Y平面上光场的复振幅分布为g(x，y)，根据傅里叶变换特性，可以将这样一个空间分布展开成一系列二维基元函数)](2exp[yfxfiyx的线性叠加，即yxyxyxdfdfyfxfiffGyxg)](2exp[),(),(（1）式中fx、fy为x、y方向的空间频率，即单位长度内振幅起伏的次数，G(fx，fy)表示原函数g(x，y)中相应于空间频率为fx、fy的基元函数的权重，亦即各种空间频率的成分占多大的比例，也称为光场（opticalfield）g(x，y)的空间频谱。G(fx、fy)可由g(x，y)的傅里叶变换求得dxdyyfxfiyxgffGyxyx)](2exp[),(),((2)g(x，y)与G(fx，fy)是一对傅里叶变换式，G(fx，fy)称为g(x，y)的傅里叶的变换，g(x，y)是G(fx，fy)的逆变换，它们分别描述了光场的空间分布及光场的频率分布，这两种描述是等效的。当g(x，y)是空间周期函数时，空间频率是不连续的。例如空间周期为x0的一维函数g(x)，即g(x)=g(x+x0)。描述空间周期为x0的一维光栅时，光栅面上光振幅分布可展成傅里叶级数)2exp()2exp()(0xnfiGxfiGxgnnn(3)上式中，n＝0，±1，±2，……；f0=1/x0，称为基频；fn=nf0，是基频的整数倍频，称为n次谐波的频率。Gn是g(x)的空间频率，由傅里叶变换得dxxnfixgxGxxn)2exp()(102/2/000(4)2、透镜的二维傅里叶变换性质在光学上，透镜是一个傅里叶变换器，它具有二维傅里叶变换的本领。理论证明，若在焦距为F的正透镜L的前焦面（X-Y面）上放一光场振幅透过率为g(x，y)的物屏，并以波长为的相干平行光照射，则在L的后焦面（X-Y面）上就得到g(x，y)的傅里叶变换，即g(x，y)的频谱，-77-此即夫琅禾费衍射情况。其空间频谱dxdyyFyxFxiyxgFyFxG)](2exp[),(),((5)其中空间频率fx、fy与透镜像方焦面（频谱面）上的坐标有如下关系Fxfx/Fyfy/（6）显然，),(FyFxG就是空间频率为（FyFx,）的频谱项的复振幅，是物的复振幅分布的傅里叶变换，这就为函数的傅里叶变换提供了一种光学手段，将抽象的函数演算变成了实实在在的物理过程。由于FyFx,分别正比于x，y，所以当、F一定时，频谱面上远离坐标原点的点对应于物频谱中的高频部分，中心点x=y=0，fx=fy=0对应于零频。3、阿贝成像原理现在我们知道，物体应该看成是大量空间信息的集合体，光信息处理涉及的空间信息的频谱不再是一个抽象的数学概念，它是展现在透镜焦平面上的物理实在。然而当初，最先把物体看成是大量空间信息的集合体的是阿贝。1873年，德国人阿贝在研究显微镜设计方案时，提出了空间频率、空间频谱及二次衍射成像的概念，并进行了相应的实验研究。他认为：在相干光照明下，显微镜的成像可分为两个步骤。第一步是通过物的夫琅禾费衍射，在物镜后焦面上形成一个衍射图样，第二步是这些衍射图样发出的子波相干涉，在像平面上相干迭加形成物的像，通过目镜可以观察到这个像。图1是阿贝成像原理示意图，图中物G是正弦振幅透射光栅，成像的第一步是光栅的夫琅禾费衍射。在G上取代表正弦光栅中的某些透光缝A、B、C，由正弦光栅透出的所有方向的光中，经计算知，只有三个方向的平行光是彼此相长地相干，会聚于焦平面F上，形成f+1、f0和f-1。第二步，把这些衍射图样f+1、f0和f-1看成是相干的子波源，这三列波在像平面H上相干迭加，就得到正弦光栅的像。按频谱分析理论，谱面上的每一点均具有以下四点明确的物理意义：（1）谱面上任一光点对应着物面上的一个空间频率成分。（2）光点离谱面中心的距离，标志着物面上该频率成分的高低，离中心远的点代表物面上的高频成分，反映物的细节部分。靠近中心的点，代表物面的低频成分，反映物的粗轮廓。中心亮点是0级衍射即零频，反映在像面上呈现均匀背景。（3）光点的方向，指出物平面上该频率成分的方向，例如横向的谱点表示物面有纵向栅缝。（4）光点的强弱则显示物面上该频率成分的幅度大小。由以上定性分析可以看出，阿贝的二次成像理论的第一次衍射是透镜对物作空间傅里叶变换，它把物的各种空间频率和相应的振幅一一展现在它的焦平面上。一般情况下，物体透过率的ABCLFHABC平行光图1阿贝成像原理YG-78-分布不是简单的空间周期函数，它们具有复杂的空间频谱，故透镜焦平面上的衍射图样也是极复杂的。第二次衍射是指空间频谱的衍射波在像平面上的相干迭加。如果在第二次衍射中，物体的全部空间频谱都参与相干迭加成像，则像面与物面完全相似。如果在展现物的空间频谱的透镜焦平面上插入某种光学器件（称之为空间滤波器），使某些空间频率成分被滤掉或被改变，则像平面上的像就会被改变，这就是空间滤波和光学信息处理的基本思想。在实际光学成像系统中，像和物不可能完全一样。这是由于透镜的孔径是有限的，总有一些衍射角比较大的高次光线（高频信息）不能进入物镜而被丢掉。所以像的信息总是比物的少些。由于高频信息主要反映物的细节，因此，无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像面上分辨出这些细节。这是限制显微镜分辨本领的根本原因。当物镜孔径极其小时，有可能只有零级衍射通过物镜，这时像面上有亮的均匀背景而无像分布。4、空间滤波和光信息处理光信息处理是通过空间滤波器来实现的，所谓空间滤波器是指在图1中透镜的后焦平面上放置某种光学元件来改造或选取所需要的信息，以实现光信息处理。这种光学器件称为空间滤波器。图2给出了几种常用的空间滤波器。（a）低通滤波：目的是滤去高频成分，保留低频成分。由于低频成分集中在谱面的光轴（中心）附近，高频成分落在远离中心的地方，经低通滤波后图像的精细结构将消失，黑白突变处也变得模糊。（b）高通滤波：目的是滤去低频成分而让高频成分通过，其结果正好与低通滤波相反，使物的细节及边缘清晰。（c）带通滤波：根据需要，有选择的滤掉某些频率成分。（d）方向滤波：只让某一方向，例如纵向的频率成分通过，则像面上将突出了物的横向线条。假如用一块二维矩形光栅作为物，二维矩形光栅的空间结构分布如图3（a），将其放在图1的G处，由于它的振幅透射率是二维周期函数，因此它的空间频谱也应该是二维的，用fx，fy表示。当用平行光照射二维矩形光栅时，在图1中透镜的焦平面F上将显示出二维光栅的频谱，如图3（b）。假如用一块有狭缝的屏作空间滤波器，将狭缝沿Y轴竖直放置在图9-1中的F面上，它将挡掉图3（b）中所有的fx，仅保留fy，如图3（c），此时在像平面H上的像将如图3（d）所（b）高通（c）带通（d）方向（a）低通图2空间滤波器(a)(b)(e)(f)图3空间滤波器及空间滤波(c)(d)-79-示。若用类似于图3（d）的一维光栅代替二维光栅放在图1的G处，则在图1的F和H面上也得到上述同样的像。这就是说，图3（c）中的这条狭缝把二维光栅的像处理成一维光栅的像了。若将狭缝水平放置，它将滤掉图3（b）中所有的fy，透镜的焦平面F上保留的频谱和像平面H上成的像将如图3（e）所示。如果让狭缝45倾斜地放置在F面上，那么透镜的焦平面F上保留的频谱和像平面H上成的像将如图3（f）所示。这表明用一条狭缝作滤波器，当其取向不同时，可将二维光栅的物处理成上述各种方位的一维光栅的像。以上是采用滤波器进行光信息处理的最简单的实例，这类滤波器从物体的全部空间信息中选出所需要的部分，从而实现对物体信息的处理，获得由物体的部分空间信息所构成的像。实验内容与方法实验光路如图4所示，物面G处放置透射的一维光栅或正交光栅(网格)、光字屏等，谱面F处放置各种滤波器（形状不同的光阑、狭缝等）。按图4调节光路，并注意各有关器件的共轴等高。激光束经L1、L2扩束准直后，形成大截面的平行光照在物面G上，移动傅立叶透镜L在像面H上得到一个放大的实像，此时物的频谱面在傅立叶透镜L的后焦面上。实验过程中考虑到成像透镜焦距的大小以及物面的空间频率成分的分布，为使谱面的衍射图适于各种滤波器的大小，以便于滤波处理，通常按图5放置各器件，亦即将图4中的扩束镜L1放置在准直透镜L2一倍焦距（f2）外，产生会聚光照射物面G，这样，准直透镜L2在会聚点所在平面对物作一傅里叶变换，即会聚点为物的频谱面。将物G插入L2与会聚点之间，且物G与频谱面之间的距离为s，移动成像透镜L在像面H上得到一个放大的实像。然后，在物的频谱面上，用滤波器可以改变物经成像透镜的成像情况。对于这种光路，fx=x/s，fy=y/s。1、观察空间滤波现象物面上放置一维光栅，光栅条纹沿竖直方向，这样，在频谱面上可看到水平排列的等间距衍射光点，中间最亮点为0级衍射，两侧分别为±1、±2、……级衍射点。在像面上可看到亮暗相间且界限明显的光栅像。①在频谱面上放一狭缝（自制或用滤波器上小孔），使只有0级与±1级衍射光通过，像面上L1L2L激光器物面G像面H谱面Fff2图4空间滤波实验光路L1L激光器像面H谱面F图5空间滤波实验光路L2物面Gs-80-光栅像的亮度变为正弦形，光栅间距不变。这一变化目测不易察觉，如用感光片记录条纹，则可看到亮暗条纹之间不再有明显界限而是逐步渐变。进一步缩小狭缝，仅使0级衍射光通过，这时像面上只有均匀的背景，但不出现光栅像。②在谱面上用纸扎孔自制光阑，使0级与±2级衍射光通过，则像面上的光栅像的空间频率加倍。③用用纸扎孔自制光阑挡去0极衍射而使其它衍射光通过，则像面上发生反衬度的反转，即原来暗条纹变为亮条纹，而原来亮条纹相对变暗。2、方向滤波在物面上换上正交光栅，则频谱面上出现衍射图为二维的点阵列，像面上出现正交光栅像(网格)。①在谱面中间加一狭缝光阑，使狭缝沿竖直方向，让中间一列衍射光点通过，则像面上原来的正交光栅像变为一维光栅像，光栅条纹沿水平方向，正好与狭缝方向垂直。②转动狭缝，使之沿水平方向，则光栅像随之变为竖直方向。③当使狭缝与水平方向成45角时，像面上呈现的光栅条纹沿着垂直于狭缝的倾斜方向，其空间频率为原光栅像的2倍。3、低通滤波、高通滤波①将带正交光栅的透明“光”字作为物．通过透镜L成像在像平面上，像屏上将出现带网格的光字，见图6(a)。②用像屏观察L后焦面上物的空间频谱。由于光栅为一周期性函数，其频谱是有规律排列的分立点阵，而字不是周期性函数，它的频谱是连续的，一般不容易看清楚，由于光字笔划较粗，空间低频成分较多，因此谱面的光轴附近只有光字信息而没有网格信息。③将直径合适的圆孔光阑放在L后焦面的光轴上，即只让零级光通过，则像面上图象发生变化，如图6(b)，“光”字基本清楚，但网格消失。换其它直径的圆孔光阑，观察、分析滤波后的现象。④如若在像平面上只出现网格消去字，该如何何处理。⑤将谱面上的光阑作一平移，使不在光轴上的一个衍射点即其它级次光通过光阑，此时在像面上有何现象？试对现象作出解释。图6（a）光图6（b）光