全国初中数学竞赛辅导(初)第讲-整式的乘法与除法

第十讲整式的乘法与除法中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法．整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析．正整数指数幂的运算法则：(1)aM·an=aM+n；(2)(ab)n=anbn；(3)(aM)n=aMn；(4)aM÷an=aM-n(a≠0，m＞n)；常用的乘法公式：(1)(a+b)(a+b)=a2-b2；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2；(4)(d±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．例1求[x3-(x-1)2](x-1)展开后，x2项的系数．解[x3-(x-1)2](x-1)=x3(x-1)-(x-1)3．因为x2项只在-(x-1)3中出现，所以只要看-(x-1)3=(1-x)3中x2项的系数即可．根据乘法公式有(1-x)3=1-3x+3x2-x3，所以x2项的系数为3．说明应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．(x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2．解原式=(x3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1)=(x3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1)=13x-7=9-7=2．说明注意本例中(x-2)(x2-2x+4)≠x3-8．例3化简(1+x)[1-x+x2-x3+…+(-x)n-1]，其中n为大于1的整数．解原式=1-x+x2-x3+…+(-x)n-1+x-x2+x3+…-(-x)n-1+(-x)n=1+(-x)n．说明本例可推广为一个一般的形式：(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)=an-bn．例4计算(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)．分析与解(1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2=c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2．(2)(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2，这个结果与多项式x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式，但x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2与前两个因式相乘的结果x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了．原式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3=(x2)3-3(x2)2(4y2)+3x2·(4y2)2-(4y2)3=x6-12x4y2+48x2y4-64y6．例5设x，y，z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2，解先将已知条件化简：左边=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz，右边=6x2+6y2+6z2-6xy-6yz-6xz．所以已知条件变形为2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0，即(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0．因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．所以说明本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，常用f(x)，g(x)，…表示一元多项式．多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次数小于g(x)的次数．特别地，当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除．例6设g(x)=3x2-2x+1，f(x)=x3-3x2-x-1，求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及余式r(x)．解法1用普通的竖式除法解法2用待定系数法．由于f(x)为3次多项式，首项系数为1，而g(x)为2次，首r(x)=bx+c．根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，得x3-3x2-x-1比较两端系数，得例7试确定a和b，使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除．解由于x2+3x+2=(x+1)(x+2)，因此，若设f(x)=x4+ax2-bx+2，假如f(x)能被x2+3x+2整除，则x+1和x+2必是f(x)的因式，因此，当x=-1时，f(-1)=0，即1+a+b+2=0，①当x=-2时，f(-2)=0，即16+4a+2b+2=0，②由①，②联立，则有练习十1．计算：(1)(a-2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2；(2)(x+y)4(x-y)4；(3)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)．2．化简：(1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)；(2)(a+3b)(a2-3ab+9b2)-(a-3b)(a2+3ab+9b2)；(3)(x+y)2(y+z-x)(z+x-y)+(x-y)2(x+y+z)×(x+y-z)．3．已知z2=x2+y2，化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．4．设f(x)=2x3+3x2-x+2，求f(x)除以x2-2x+3所得的商式和余式．若想一路顺风，请你开心度时光，永葆云淡风轻。如果遇事解不开心结，过分地追求完美，一味地与自己较真，只会伤心劳神。万事随缘莫计较，唯求淡泊与安宁。淡然得与失，珍惜人间情。与其和自己过不去，不如顺其自然，潇潇洒洒过一生。若想一路顺风，请别拿别人的错误惩罚自己。看得开才会快乐，放得下才会轻松。胸怀要大度，凡事能接纳，对人能包容。遇有不顺心的人和事，切不可小肚鸡肠，怀恨在胸。你这里恼怒填胸，可惹你生气的人早已满面春风，试想，你何必再纠结、郁闷、怨言声声！若想一路顺风，请你用微笑掩埋苦痛。客观事实证明，人生有失就有得，得和失总是相辅相成。不要感叹自己不幸运，不要抱怨老天不公平，得到的我们感到欣慰，失去的我们一身轻松。痛苦惋惜无济于事，坦然洒脱一路顺风！若想一路顺风，请你修炼豁达心，大度才能包容。忍一时风平浪静，退一步海阔天空。懂得谦让和谅解，胸襟宽阔人尊敬。磕磕绊绊全甩弃，和睦相处快乐生。要善待他人，即使路径狭窄，也要留一步与人行。拿得起，放得下，才是人生的真性情。若想一路顺风，请你把自己的心态好好调整。细节决定成败，心态决定人生，拥有怎样的心态，就会有怎样的生活和心情。面对困难和挫折，勇于挑战自我，就没有过不去的坎儿，就没有超越不了的山峰，就没有走不出去的困境，就会迎来风雨之后的彩虹！拥有一个良好的心态，就能乐观开朗地面对生活和人生。若想一路顺风，请你懂得感恩和尊重。人生在世，就应该懂得感恩，感恩有父母的爱，感恩有亲人的疼，感恩有同事的帮，感恩有朋友同行，感恩有美妙的乐声，感恩有美丽的风景。你如果懂得了感恩，也就拥有了别人的爱，也就赢得了别人的真诚和尊重！若想一路顺风，请你清除羡慕、嫉妒、恨。尽管羡慕是人们的本能，但过于羡慕别人的人，一直都在追逐着别人的梦。嫉妒和恨，更是一剂心灵的毒药，是一种扭曲的心理，我们应该懂得欣赏别人，将别人的优秀看在眼里，记在心中，让他人激励自己前行。若想一路顺风，请你学会释放，不要钻进死胡同。生活纷繁，不要被困境和失败糟糕了心情。生命，也有不能承受之重，要学会放下和释重，不能苦苦支撑。让心灵的阳光，冲破压抑的云层，让我们时刻保持着好心情！人生途中，愿你一路顺风！若想一路顺风，请你开心度时光，永葆云淡风轻。如果遇事解不开心结，过分地追求完美，一味地与自己较真，只会伤心劳神。万事随缘莫计较，唯求淡泊与安宁。淡然得与失，珍惜人间情。与其和自己过不去，不如顺其自然，潇潇洒洒过一生。若想一路顺风，请别拿别人的错误惩罚自己。看得开才会快乐，放得下才会轻松。胸怀要大度，凡事能接纳，对人能包容。遇有不顺心的人和事，切不可小肚鸡肠，怀恨在胸。你这里恼怒填胸，可惹你生气的人早已满面春风，试想，你何必再纠结、郁闷、怨言声声！若想一路顺风，请你用微笑掩埋苦痛。客观事实证明，人生有失就有得，得和失总是相辅相成。不要感叹自己不幸运，不要抱怨老天不公平，得到的我们感到欣慰，失去的我们一身轻松。痛苦惋惜无济于事，坦然洒脱一路顺风！若想一路顺风，请你修炼豁达心，大度才能包容。忍一时风平浪静，退一步海阔天空。懂得谦让和谅解，胸襟宽阔人尊敬。磕磕绊绊全甩弃，和睦相处快乐生。要善待他人，即使路径狭窄，也要留一步与人行。拿得起，放得下，才是人生的真性情。若想一路顺风，请你把自己的心态好好调整。细节决定成败，心态决定人生，拥有怎样的心态，就会有怎样的生活和心情。面对困难和挫折，勇于挑战自我，就没有过不去的坎儿，就没有超越不了的山峰，就没有走不出去的困境，就会迎来风雨之后的彩虹！拥有一个良好的心态，就能乐观开朗地面对生活和人生。若想一路顺风，请你懂得感恩和尊重。人生在世，就应该懂得感恩，感恩有父母的爱，感恩有亲人的疼，感恩有同事的帮，感恩有朋友同行，感恩有美妙的乐声，感恩有美丽的风景。你如果懂得了感恩，也就拥有了别人的爱，也就赢得了别人的真诚和尊重！若想一路顺风，请你清除羡慕、嫉妒、恨。尽管羡慕是人们的本能，但过于羡慕别人的人，一直都在追逐着别人的梦。嫉妒和恨，更是一剂心灵的毒药，是一种扭曲的心理，我们应该懂得欣赏别人，将别人的优秀看在眼里，记在心中，让他人激励自己前行。若想一路顺风，请你学会释放，不要钻进死胡同。生活纷繁，不要被困境和失败糟糕了心情。生命，也有不能承受之重，要学会放下和释重，不能苦苦支撑。让心灵的阳光，冲破压抑的云层，让我们时刻保持着好心情！人生途中，愿你一路顺风！