圆锥曲线高考大题

圆锥曲线1.已知椭圆222:9(0)Cxymm,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆222210xyabab的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.3..已知椭圆E：22221(a0)xybab+=过点(0,2），且离心率为22．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设直线1xmymR=-?，()交椭圆E于A，B两点，判断点G9(4-,0)与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．BAOxylPCxyBAOG4.已知椭圆2212xy上两个不同的点A，B关于直线12ymx对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）．5.平面直角坐标系xoy中，已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为32，左、右焦点分别是12,FF，以1F错误!未找到引用源。为圆心以3为半径的圆与以2F为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144xyEab，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于,AB两点，射线PO交椭圆E于点Q.(i)求OQOP的值；（ii）求ABQ面积的最大值.6.设椭圆E的方程为222210xyabab，点O为坐标原点，点A的坐标为0a，，点B的坐标为0b，，点M在线段AB上，满足2BMMA，直线OM的斜率为510.（I）求E的离心率e；（II）设点C的坐标为0b，，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72，求E的方程.7.已知椭圆2222+=1(0)xyabab的左焦点为(,0)Fc,离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆422+4bxy=截得的线段的长为c，43|FM|=3.(I)求直线FM的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.8.如图，椭圆222210xyabab的左、右焦点分别为12,,FF过2F的直线交椭圆于,PQ两点，且1PQPF（1）若1222,22PFPF，求椭圆的标准方程（2）若1,PFPQ求椭圆的离心率.e9.如图，椭圆E：2222+1(0)xyabab的离心率是22，过点P（0,1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22.(1)求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAPAQBPB恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.F2F1PQyxO10.一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且1DNON，3MN．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设动直线l与两定直线1:20lxy和2:20lxy分别交于,PQ两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OQP的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．11.已知椭圆:22221xyab（0ab）的半焦距为c，原点到经过两点,0c，0,b的直线的距离为12c．（I）求椭圆的离心率；（II）如图，是圆:225212xy的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．12.在直角坐标系xoy中，曲线C：y=24x与直线ykxa(a＞0)交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.BADOMNxDOMNy13.已知椭圆C：222210xyabab的离心率为22，点01P，和点Amn，0m≠都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．14.已知抛物线21:4Cxy的焦点F也是椭圆22222:1(0)yxCabab的一个焦点，1C与2C的公共弦的长为26.（1）求2C的方程；（2）过点F的直线l与1C相交于A，B两点，与2C相交于C，D两点，且AC与BD同向（ⅰ）若||||ACBD，求直线l的斜率（ⅱ）设1C在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形15.已知椭圆2221xy，过原点的两条直线1l和2l分别于椭圆交于、和C、D，记得到的平行四边形CD的面积为S.（1）设11,xy，22C,xy，用、C的坐标表示点C到直线1l的距离，并证明11212Sxyxy；（2）设1l与2l的斜率之积为12，求面积S的值.1.【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，47或47．【解析】(Ⅰ)设直线:lykxb(0,0)kb，11(,)Axy，22(,)Bxy，(,)MMMxy．将ykxb代入2229xym得2222(9)20kxkbxbm，故12229Mxxkbxk，2(3)23(9)mkkk．解得147k，247k．因为0,3iikk，1i，2，所以当l的斜率为47或47时，四边形OAPB为平行四边形．2.【答案】（1）2212xy（2）1yx或1yx．（1）由题意，得22ca且23acc，解得2a，1c，则1b，所以椭圆的标准方程为2212xy．（2）当x轴时，2，又C3，不合题意．当与x轴不垂直时，设直线的方程为1ykx，11,xy，22,xy，将的方程代入椭圆方程，得2222124210kxkxk，则221,2222112kkxk，C的坐标为2222,1212kkkk，且222222121212221112kxxyykxxk若0k，则线段的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．3.【答案】(Ⅰ)22142xy+=；(Ⅱ)G9(4-,0)在以AB为直径的圆外．【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得2222,2,2,bcaabcì=ïïï=íïï=+ïî解得222abcì=ïï=íïï=î，所以椭圆E的方程为22142xy+=．(Ⅱ)设点1122(y),B(,y),AxxAB中点为00H(,y)x．由22221(m2)y230,142xmymyxyì=-ïï+--=íï+=ïî得所以12122223y+y=,yy=m2m2m++，从而022ym2=+.所以222222200000095525GH|()y(my)y(m+1)y+my+44216x=++=++=.22222121212()(y)(m+1)(y)|AB|444xxyy-+--==22221212012(m+1)[(y)4y](m+1)(yy)4yyy+-==-,故222222012222|AB|52553(m+1)25172|GH|my(m+1)y042162(m2)m21616(m2)mmy+-=++=-+=+++所以|AB||GH|2，故G9(4-,0)在以AB为直径的圆外．解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设点1122(y),B(,y),Axx，则112299GA(,),GB(,).44xyxy=+=+由22221(m2)y230,142xmymyxyì=-ïï+--=íï+=ïî得所以12122223y+y=,yy=m2m2m++，从而121212129955GAGB()()(my)(my)4444xxyyyy=+++=+++22212122252553(m+1)25(m+1)y(y)4162(m2)m216mymy=+++=-+++22172016(m2)m+=+所以cosGA,GB0,GAGB狁又，不共线，所以AGBÐ为锐角.故点G9(4-,0)在以AB为直径的圆外．4.【答案】（1）63m或63m；（2）22.（1）由题意知0m，可设直线AB的方程为1yxbm，由22121xyyxbm，消去y，得222112()102bxxbmm，∵直线1yxbm与椭圆2212xy有两个不同的交点，∴224220bm，①，将AB中点2222(,)22mbmbMmm代入直线方程12ymx解得2222mbm，②。由①②得63m或63m；（2）令166(,0)(0,)22tm，则42223222||112ttABtt，且O到直线AB的距离为22121tdt，设AOB的面积为()St，∴221112()||2()22222StABdt，当且仅当212t时，等号成立，故AOB面积的最大值为22.5.【答案】（I）2214xy；（II）(i)2；（ii）63.（I）由题意知24a，则2a,又2223,2cacba可得1b,所以椭圆C的标准方程为2214xy.（II）由（I）知椭圆E的方程为221164xy,（i）设00,Pxy，OQOP，由题意知00,Qxy因为220014xy,又22001164xy，即22200144xy,所以2，即2OQOP.（ii）设1122,,,AxyBxy将ykxm代入椭圆E的方程，可得2221484160kxkmxm由0，可得22416mk…①则有21212228416,1414kmmxxxxkk所以22122416414kmxxk因为直线ykxm与轴交点的坐标为0,m所以OAB的面积2222221641214kmmSmxxk222222222(164)24141414kmmmmkkk令2214mtk,将ykxm代入椭圆C的方程可得222148440kxkmxm由0，可得2214mk…②由①②可知01t因此22424Stttt,故23S当且仅当1t，即2214mk时取得最大值23由（i）知，ABQ面积为3S,所以ABQ面积的最大值为63.6.【答案】（I）255；（II）221459xy.7.【答案】(I)33；(II)22132xy；(III)23223,,333.【解析】(I)由已知有2213ca，又由222abc，可得223ac，222bc，设直线FM的斜率为(0)kk，则直线FM的方程为()ykxc，由已知有2222221kccbk，解得33k.(II)由(I)得椭圆方程为2222132xycc，直线FM的方程为()ykxc，两个方程联立，消去y，整理得223250xcxc，解得53xc