一次函数

第十四章一次函数一、一次函数及其图像知识总结（一）知识总结（二）例题精讲知识点一：变量与函数知识点二：一次函数与正比例函数的意义知识点三：待定系数法求一次函数的解析式知识点一：变量与函数A、夯实基础每个同学购买一支钢笔，每支笔5元，求总金额y（元）与学生数n（个）的函数关系并指出式中的函数与自变量，写出自变量的取值范围。解答：y=5n，n是自变量，y是n的函数。自变量n的取值范围是：n为自然数。解析：这里的自变量的取值范围，要考虑它的实际意义。B、双基固化如果A、B两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑的时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（C）（A）A比B先出发（B）A、B两人的速度相同（C）A先到达终点（D）B比A跑的路程多C、能力提升一水管以均匀的速度向容积为100立方米的空水池中注水，注水的时间t与注入的水量Q如下表，请从表中找出t与Q之间的函数关系式，且求当t=5分15秒时水池中的水量Q的值.解答：∵水管是匀速流出水于池中，速度是(4÷2)=2，即每分钟2立方米，函数解析式为Q=2t，自变量t为非负数.又∵水池容积为100立方米，时间不能超过100÷2=50(分钟)，∴0≤t≤50.当t=5分15秒时，Q=2×5.25=10.5(立方米)即当t为5分15秒时，水量为10.5立方米.知识点二：一次函数与正比例函数的意义A、夯实基础下列函数中,哪些是一次函数(1)Y=-3X+7是一次函数.(2)Y=6X2-3X不是一次函数.(3)Y=8X是一次函数,也是正比例函数(4)Y=1+9X是一次函数(5)Y=X6不是一次函数B、双基固化列出下列函数关系式，判别其中哪些为一次函数、正比例函数．(1)正方形周长p和一边的长a．解答:(1)∵p=4a．自变量a为一次且其系数为4(不为零)．∴p为a的一次函数．又∵不含常数项∴也是正比例函数．(2)长a一定时矩形面积y与宽x．解答：∵y=ax，自变量x为一次且系数a为长度(不为零)．∴y是x的一次函数．∵不含常数项．∴y也是x的正比例函数．(3)定期存100元本金，月利率1.8％，本息和y与所存月数x．解答:∵y=100+100×1.8%x，自变量x的次数为一次，又含有常数项．T（分钟）2468...Q（立方米）481216...∴y是x的一次函数但不是正比例函数．(4)水库原存水Q立方米，现以每小时a立方米的流量开闸放水，同时上游以每小时b立方米的流量向水库注水，求这时水库的蓄水量M与时间t的函数关系．解答:∵M=Q+(b-a)t，因为自变量t的次数为一次，当a≠b时，M是t的一次函数．若Q=0时，M是t的正比例函数；若a=b时，M是常量函数，不是t的一次函数．C、能力提升已知y=-(m2+2m)xm2+m-1，当m是什么数值时，为正比例函数？解答：设正比例函数为y=kx(k≠0)，∵正比例函数k≠0，x的指数为1．∴m2+2m≠0，解得m1≠0，m2≠-2，且m2+m-1=1，解得m3=-2，m4=1．∴当m=1时，为正比例函数．知识点三：待定系数法求一次函数的解析式B、双基固化已知一次函数y=kx+b在x=－4时的值为9，在x=6时的值为3，求k与b解：由已知得：9=－4k+b3=6k+b解得k=－0.6,b=6.6C、能力提升一次函数的图象经过点（0，2）和点（4，6）。写出一次函数的表达式。解：设一次函数的表达式为y=kx+b,把（0，2）（4，6）代入表达式得2=k•0+b6=k•4+b即：b=2，所以6=k•4+2，k=1所以该一次函数的表达式为y=x+2二、一次函数及其图像规律总结（一）规律总结一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是中考的重点考查内容。一次函数的考查有多种角度及形式，尤其近几年新型题的不断出现，加大了对学生的能力的考查力度。现以部分中考题为例介绍一次函数的几个考查点。希望对同学们的学习有所帮助。（二）例题精讲考点一：考定义考点二：求解析式考点三：考查函数的性质考点一：考定义A、夯实基础下列函数中，一次函数是（）A、y=8x2B、xy8C、y=x＋1D、11xy【解析】要判断一下函数是否为一次函数，要从三个方面进行观察，①首先必须是整式；②次数，自变量的最高次数是否为一次；③系数，将函数化简后，自变量x的系数不为零。【解答】CB、双基固化若y=(m+2)x|m|-1是正比例函数，则m的值是().A、2B、-2C、±1D、±2【解析】按照正比例函数的定义，y=kx(k≠0)叫做正比例函数，所以|m|-1=1,可得m=±2，再由m+2≠0,所以m=2。【解答】AC、能力提升正比例函数y=(|a|-2)x中，a的值不能为().A、2B、-2C、±2D、以上全不对【解析】正比函数的比例系数不能为0,所以a不能为±2.【解答】C考点二：求解析式A、夯实基础一次函数的图象经过点(-2,-1)，且当x=1时，y=5，则这个一次函数的解析式为().A、y=x+1B、y=2x+3C、y=2x-1D、y=-2x+5【解析】设该一次函数的解析式为y=kx+b,把x=-2，y=-1与x=1,y=5代入该解析式，可得2kb1kb5，解这个方程组得:k2b=3,所以该一次函数的解析式为y=2x+3.【解答】BB、双基固化已知一次函数y=kx+b，当x=1时，y=2，且它的图象与y轴交点的纵坐标是3,则该函数的解析式是().A、y=x-3B、y=2x+3C、y=-x+3D、y=-x-3【解析】把x=1,y=2和x=0,y=3代入一次函数的解析式，可得kb2b3，解方程组可得k=-1,b=3,所以正确答案为C.【解答】CC、能力提升已知直线m与直线y=2x+1的交点的横坐标为2，与直线y=-x+2的交点的纵坐标为1，求直线m的函数解析式.【解析】根据两点定一直线，用待定系数法确定函数解析式的步骤是：⑴写出含有待定系数的方程；⑵把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程（组）；⑶解方程（组），求出待定系数；⑷将求得的待定系数的值代回所设的解析式.考虑将x=2代入y=2x+1,可得出一个交点的坐标，同时将y=1代入y=-x+2，可得另一个交点的坐标，有两个交点坐标，不难求出m的解析式.【解答】将x=2代入y=2x+1,得y=5;所以该点的坐标为(2,5)；将y=1代入y=-x+2,得x=1,所以该点的坐标为(1,1)设直线m的解析式为y=kx+b,则可得2kb5kb1，解这个方程组得k4b3，所以直线m的函数解析式为y=4x-3.考点三：考查函数的性质A、夯实基础下列图象中，表示直线y=x-1的是()【解析】要解答本题需要掌握一次函数的性质：一次函数y=kx+b（k≠0），①当k＞0时，一次函数过一、三象限；当k＜0时，一次函数过二、四象限；②当b＞0时，一次函数过一、二象限，当b＜0时，一次函数过三、四象限。根据此一次函数的性质可得此题选D。【解答】DB、双基固化已知一次函数y=kx＋b（k≠0）的图象经过点（0，1），且y随x的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式。【解析】此题是一个开放性问题，根据一次函数图像的性质可知k＞0，可任意代入一个正数k，再由点（0，1）确定b的值。注意：由一次函数的增减性可判断出k的正负，直线的倾斜程度也由|k|来决定。这类题目的答案不唯一，只要符合条件即可得分，这是近几年的中考新题型，可充分发挥学生的自主性，体现人文性。【解答】答案不唯一合理即可。C、能力提升已知一次函数的图象经过点A(-3,2)和点B(1,6)，求函数图象与坐标轴围成三角形的面积.【解析】将两点坐标代入y=kx+b,求出一次函数解析式，画出图象后，可求出该函数与x轴、y轴的交点，从而三角形的面积可求.【解答】设一次函数的解析式为3kb2kb6，解这个方程组得k1b5，所以一次函数的解析式为y=x+5,当y=0时，x=-5;当x=0时，y=-5;如图所示，该三角形面积=AOBO5525222.三、用函数观点看方程（组）与不等式一次函数（二）例题精讲知识点一：一次函数与一元一次方程知识点二：一次函数与一元一次不等式知识点三：一次函数与二元一次方程(组)知识点一：一次函数与一元一次方程A、夯实基础直线y=x+3与x轴的交点坐标为(-3,0),所以相应的方程x+3=0的解是x=-3.B、双基固化Oxy直线y=kx+3与x轴的交点是(1,0),则k的值是(D)A.3B.2C.-2D.-3C、能力提升用作图象的方法解方程2x+3=4【解析】先把方程2x+3=4化为：2x-1=0,再用函数的观点解题【解答】画直线y=2x-1,图象与x轴的交点的横坐标即方程的解,观察得,交点的横坐标为0.5知识点二：一次函数与一元一次不等式A、夯实基础若一次函数y=3x+2的值大于y=-2x-3的值,则自变量x的取值范围是(A).A.x＞-1B.x＜-1C.x＜1D.x＞1【解析】求一次函数y=3x+2大于y=-2x-3的值,即3x+2＞-2x-3,解不等式可知x＞-1B、双基固化直线152yx在直线113yx下方时,自变量x的范围是(B).A.x＜36B.x＜-36C.x＞36D.x-36【解析】直线152yx在直线113yx下方时，即是115123xx解这个不等式得:x＜-36.C、能力提升某乡A,B两村盛产柑橘,A村有柑橘200t,B村有柑橘300t.现将这些柑橘运到C,D两个冷藏仓库,已知C仓库可储存240t,D仓库可储存260t;从A村运往C,D两处的费用分别为每吨20元和25元,从B村运往C,D两处的费用分别为每吨15元和18元,设从A村运往C仓库的柑橘重量为xt,A,B两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元和yB元.A村200t,B村300t.C可存240t,D可存260t;A运往C20元/吨,A运往D25元/吨,B运往C15元/吨,B运往D18元/吨,A运往Cxt,A,B总运费分别为yA元和yB元.(1)请填写下表,并求出yA,yB与x之间的函数关系式；(2)试讨论A,B两村中,哪个村的运费较少；(3)考虑到B村的经济承受能力,B村的柑橘运费不得超过4830元.在这种情况下,请问怎样调运,才能使两村运费之和最小？求出这个最小值.CD总计AXt(200－x)t200tB(240-x)t(60+x)t300t总计240t260t500tA运往C20元/吨,A运往D25元/吨,B运往C15元/吨,B运往D18元/吨,A,B总运费分别为yA元和yB元.(1)请填写下表,并求出yA,yB与x之间的函数关系式；CD总计AXt(200－x)t200tB(240-x)t(60+x)t300t总计240t260t500t【解析】根据表中数据与运费单价,可写出yA,yB与x之间的函数关系式【解答】yA=20x+25(200-x)=－5x+5000(0≤x≤200),yB=3x+4680(0≤x≤200).(2)试讨论A,B两村中,哪个村的运费较少；yA=－5x+5000(0≤x≤200),yB=3x+4680(0≤x≤200).【解析】欲比较yA与yB的大小,可在yA=yB或yAyB或yAyB时分别求出x的取值范围【解答】当yA=yB时,－5x+5000=3x+4680,x=40；当yAyB时,－5x+50003x+4680,x40；当yAyB时,－5x+50003x+4680,x40.∴当x=40时,yA=yB即两村运费相等；当0≤x40时,yAyB即B村运费较少；当40x≤200时,yAyB即A村费用较少.(3)考虑到B村的经济承受能力,B村的柑橘运费不得超过4830元.在这种情况下,请问怎样调运,才能使两村运费之和最小？求出这个最小值.【解析】根据已知条件可求出x的取值范围.再在此范围内,求出两村运费和的最小值解:由yB≤4830得3x+4680≤4830.∴x≤50.设两村运费之和为y,∴y=yA+y