直线与平面垂直的判定定理与性质定理

第5讲直线、平面垂直的判定与性质第七章立体几何1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的_________________都垂直，则该直线与此平面垂直a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α两条相交直线a⊥αb⊥α⇒a∥b文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线________平行2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的____，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于______的直线垂直于另一个平面l⊂βl⊥α⇒α⊥βα⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α垂线交线3.空间角(1)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，________就是斜线AP与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈___________．锐角∠PAO0，π2(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做_______________．如图的二面角，可记作：二面角__________或二面角__________．二面角的面αlβPABQ②二面角的平面角如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则________就叫做二面角α­l­β的平面角．③二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈________．④当θ＝________时，二面角叫做直二面角．∠AOB[0，π]π22．学会三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．2.如图，O为正方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()A．A1DB．AA1C．A1D1D．A1C1D1．(2015·高考浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥mA3．(2016·邢台摸底考试)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m⊥αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥βC4．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的______________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)充分不必要5．(必修2P73习题2.3A组T6改编)P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC，其中正确的个数是________．3(2014·高考辽宁卷)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D­BCG的体积．1.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝12AB，PH为△PAD中AD边上的高．证明：(1)PH⊥平面ABCD；(2)EF⊥平面PAB.M考点二面面垂直的判定与性质(2015·高考天津卷改编)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC，点E和F分别为BC和A1C的中点．(1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1.2.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)点M在线段PC上，PM＝13PC，若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝AD，三棱锥M­BCQ的体积为23，求点Q到平面PAB的距离．考点三垂直关系的综合应用(2016·洛阳统考)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：OM∥平面PAB；(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；(3)当三棱锥M­BCD的体积等于34时，求PB的长．3.如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.规范解答——空间位置关系的证明(本题满分12分)(2015·高考陕西卷)如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE的位置，得到四棱锥A1­BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1­BCDE的体积为362，求a的值．(1)已知――→正方形ABCEBE⊥AC――→翻折BE⊥A1O，BE⊥OC―→BE⊥平面A1OC――→CD∥BE结论(2)面面垂直―→A1O⊥平面BCDE―→A1O为锥体的高――→▱BCDE求出其面积――→体积a的值(1)证明：在题图(1)中，因为AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝π2，所以BE⊥AC.(2分)即在题图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，(3分)从而BE⊥平面A1OC.(4分)又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(6分)(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.即A1O是四棱锥A1­BCDE的高．(9分)由题图(1)知，A1O＝AO＝22AB＝22a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，(10分)从而四棱锥A1­BCDE的体积为V＝13S·A1O＝13×a2×22a＝26a3.由26a3＝362，得a＝6.(12分)(1)在解题过程中，注意答题要求，严格按照直线、平面垂直的判定定理与性质定理条件的要求，有序进行论证说明．(2)线面、面面位置关系的证明问题实质是线线、线面、面面位置关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理进行证明．6．(2016·九江模拟)如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．M11.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.12．(2015·高考安徽卷)如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．MN4．(2016·青岛质检)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.ON本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放