高考调研数学4-3

课时作业(十九)1．(2010·福建)计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于()A.12B.33C.22D.32答案A解析原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.2．已知sinα＝1213，cosβ＝45，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于()A.3365B.6365C．－1665D．－5665答案A解析因为α是第二象限角，且sinα＝1213，所以cosα＝－1－144169＝－513.又因为β是第四象限角，cosβ＝45，所以sinβ＝－1－1625＝－35.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝1213×45－(－513)×(－35)＝48－1565＝3365.3．设α∈(0，π2)，若sinα＝35，则2cos(α＋π4)等于()A.75B.15C．－75D．－15答案B解析因为α∈(0，π2)，sinα＝35，所以cosα＝1－925＝45.所以2cos(α＋π4)＝2(cosαcosπ4－sinαsinπ4)＝2(22cosα－22sinα)＝cosα－sinα＝45－35＝15.4．化简cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ的结果为()A．sin(2α＋β)B．cos(α－2β)C．cosαD．cosβ答案C解析等式即cos(α－β＋β)＝cosα.5．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝62，则a、b、c的大小关系是()A．abcB．acbC．bacD．bca答案B解析a＝2sin(45°＋14°)＝2sin59°，b＝2sin(45°＋16°)＝2sin61°，c＝62＝2sin60°，∴bca.6．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则cosAcosB＝()A.14B.34C.12D．－14答案B解析tanA＋tanB＝sinAcosA＋sinBcosB＝sinAcosB＋cosAsinBcosAcosB＝sinA＋BcosAcosB＝sin60°cosAcosB＝32cosAcosB＝233，∴cosAcosB＝34.7．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于()A.1318B.1322C.322D.16答案C解析因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－β－π4，所以tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.8．(2009·陕西)若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为()A.103B.53C.23D．－2答案A解析3sinα＝－cosα⇒tanα＝－13.1cos2α＋sin2α＝cos2α＋sin2αcos2α＋2sinαcosα＝1＋tan2α1＋2tanα＝1＋191－23＝103.9．(2010·全国卷Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝________.答案－17解析由cos2α＝2cos2α－1＝－35，且α为第三象限角，得cosα＝－55，sinα＝－255，则tanα＝2，tan2α＝－43，tan(π4＋2α)＝1＋tan2α1－tan2α＝－17.10．(2011·沧州七校联考)化简：sin3α－πsinα＋cos3α－πcosα＝________.答案－4cos2α解析原式＝－sin3αsinα＋－cos3αcosα＝－sin3αcosα＋cos3αsinαsinαcosα＝－sin4αsinαcosα＝－4sinαcosα·cos2αsinαcosα＝－4cos2α.11．不查表，计算1sin10°－3sin80°＝________.(用数字作答)答案4解析原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin30°－10°sin20°＝4.12．已知tan2θ＝34(π2θπ)，求2cos2θ2＋sinθ－12cosθ＋π4的值．答案－12解∵tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝34，∴tanθ＝－3或tanθ＝13，又θ∈(π2，π)，∴tanθ＝－3，∴2cos2θ2＋sinθ－12cosθ＋π4＝cosθ＋sinθcosθ－sinθ＝1＋tanθ1－tanθ＝1－31＋3＝－12.13．已知0απ2βπ，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．答案(1)45(2)β＝3π4解(1)解法一：sinα＝2sinα2cosα2＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2＝45.解法二：tanα＝2tanα21－tan2α2＝43，所以sinαcosα＝43.又因为sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝45.(2)因为0απ2βπ，所以0β－απ.因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210.所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)cosα＝7210×35＋210×45＝22.因为β∈(π2，π)，所以β＝3π4.14．(2011·广东)已知函数f(x)＝2sin(13x－π6)，x∈R.(1)求f(5π4)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f(3α＋π2)＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．答案(1)2(3)1665解析(1)∵f(x)＝2sin(13x－π6)，∴f(5π4)＝2sin(5π12－π6)＝2sinπ4＝2.(2)∵α，β∈[0，π2]，f(3α＋π2)＝1013，f(3β＋2π)＝65，∴2sinα＝1013，2sin(β＋π2)＝65，即sinα＝513，cosβ＝35，∴cosα＝1213，sinβ＝45，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝1213×35－513×45＝1665.15．已知sin(x＋π4)sin(π4－x)＝16，x∈(π2，π)，求sin4x的值．答案－429思路由题设注意到π4＋x＋π4－x＝π2，因此需交换后再用公式求解．解析∵sin(x＋π4)sin(π4－x)＝sin(π4＋x)cos[π2－(π4－x)]＝sin(x＋π4)cos(π4＋x)＝12sin(2x＋π2)＝12cos2x＝16，∴cos2x＝13.∵x∈(π2，π)，∴2x∈(π，2π)，∴sin2x＝－223.∴sin4x＝2sin2xcos2x＝－429.探究(1)一般说来，在题目中有单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应注意2α，2α－π2，α－π4等之间关系的运用．(2)在求cos2x的过程中，本题也可采用如下方法：sin(x＋π4)sin(π4－x)＝(22sinx＋22cosx)(22cosx－22sinx)＝12(cos2x－sin2x)＝12cos2x＝16，从而得cos2x＝13.1．化简sin15°cos9°－cos66°sin15°sin9°＋sin66°的结果是()A．tan9°B．－tan9°C．tan15°D．－tan15°答案B解析sin15°·cos9°－cos66°sin15°sin9°＋sin66°＝sin15°·cos9°－sin24°sin15°·sin9°＋cos24°＝sin15°·cos9°－sin15°·cos9°－cos15°·sin9°sin15°·sin9°＋cos15°·cos9°－sin15°·sin9°＝－cos15°·sin9°cos15°·cos9°＝－tan9°.2．函数f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π答案B解析f(x)＝2sin(2x－π4)，∴T＝2π2＝π.3．若sin2θ＝1，则tanθ＋π3的值是()A．2－3B．2＋3C．－2－3D．－2＋3答案C解析由已知，得θ＝kπ＋π4，代入即可得tanθ＋π3＝tankπ＋π4＋π3＝tanπ4＋π3＝－2－3.4．(2008·浙江)若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝()A.12B．2C．－12D．－2答案B解析考查三角函数的运算与转化能力，已知正弦和余弦的一个等量关系，可以结合正弦余弦平方和等于1，联立方程组解得正弦余弦的值，再利用tanα＝sinαcosα求得，但运算量较大，作为选择题不适合．也可以利用三角变换处理，原等式即5sin(α＋φ)＝－5，其中tanφ＝12，0φπ2，∴sin(α＋φ)＝－1，∴α＋φ＝2kπ＋3π2，k∈Z，∴tanα＝cotφ＝2.也可观察得到答案．5．已知sin(α＋π4)＝45，且π4α3π4.求cosα的值．答案210解析sin(α＋π4)＝45且π4α3π4∴π2α＋π4π∴cos(α＋π4)＝－1－sin2α＋π4＝－35∴cosα＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)cosπ4＋sin(α＋π4)sinπ4＝－35×22＋45×22＝210.1．已知在△ABC中，cosBcosC＝1－sinB·sinC，那么△ABC是()A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形答案B解析由条件知cosBcosC＋sinBsinC＝1，cos(B－C)＝1，B－C＝0，∴B＝C.2．在△ABC中，“cosA＝2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的()A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．即不充分也不必要条件答案C解析在△ABC中，A＝π－(B＋C)，∴cosA＝－cos(B＋C)，又∵cosA＝2sinBsinC，即－cosBcosC＋sinBsinC＝2sinBsinC.∴cos(B－C)＝0，∴B－C＝π2，∴B为钝角．3．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α、β满足53sinα＋5cosα＝8，2sinβ＋6cosβ＝2，求cos(α＋β)的值．解析∵53sinα＋5cosα＝8，∴sin(α＋π6)＝45.∵α∈(0，π3)，∴(α＋π6)∈(π6，π2)，∴cos(α＋π6)＝35.又∵2sinβ＋6cosβ＝2，∴sin(β＋π3)＝22，∵β∈(π6，π2)，∴(β＋π3)∈(π2，5π6)，∴cos(β＋π3)＝－22，∴sin[(α＋π6)＋(β＋π3)]＝sin(α＋π6)cos(β＋π3)＋cos(α＋π6)sin(β＋π3)＝－210，∴cos(α＋β)＝－210.4．求(tan10°－3)·cos10°sin50°的值．解析(tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·cos10°sin50°＝sin10°cos60°－sin60°cos10°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－sin60°－10°cos10°·cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.