高斯求和还原问题平均数问题(复习课)

1个性化一对一教学辅导教案学科：奥数学生姓名年级四任课老师授课时间一、教学内容：高斯求和、还原问题、平均数问题（复习课）二、教学重、难点：求和公式、还原问题中问题的倒退三、教学过程：高斯求和：若干个数按照一定的顺序规律排列起来就是一个数列。例如：：1，1,2，3，5，8，13，21，34，……2、如果在一个数列中，任意两个相邻的数之间的差都相等，我们把这个数列称为等差数列。其中第一个数称为首项，最后一个数称为末项。相邻两个数之间的差称为公差（通常用d表示），这列数中数的个数称为项数。3.等差数列的计算公式：前n项和：2naaSn1）（项数：1da-an1n）（）（n1aa2Sn第n项：d1-naa1n）（公差：）（）（1-na-ad1n例题1、计算1＋2＋3＋……＋99＋100（等差数列求和公式的推导）你会怎么求？高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050例题2、2＋4＋6＋8＋……＋48＋505＋10＋15＋20＋……＋45＋50练习：○1计算1＋2＋3＋……＋49＋50○2计算1＋3＋5＋7＋……＋97＋992○3时钟在1点钟时敲一下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，以此类推，从1～12点钟共敲了几下？例2、求5＋8＋11＋14＋……＋29＋32（如何求项数）练习：○11＋5＋9＋6＋……＋33＋37○25＋10＋15＋……＋90＋95＋100○3丹丹学英语单词，第一天学会了6个单词，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了26个。丹丹在这些天中共学会了多少个单词？例3、有一列数按如下规律排列：10、17、24、31、……这列数中前80个数的和是多少？（如何求第n项的值）3练习：○1有一列数按如下规律排列：5、9、13、17、……这列数中前24个数的和是多少？○2一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位?○3银星电影院共有座位630个，已知第一排有座位18个，最后一排有52个，而且每相邻两排相差的座位数相等，那么相邻的两排相差多少个座位？（求什么）还原问题【例1】甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克，问两桶油原来各有多少千克？【练习】1、王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两个人都有24张，问王亮和李强原来各有画片多少张？2、甲乙丙三个小朋友各有玻璃球若干个，如甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给丙之后，乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后，丙也按同样的方法给甲和乙，这时，他们三个人都有32个玻璃球，问原来每个人各有多少个？【例2】两只猴子拿26个桃，甲猴眼疾手快，抢先得到，乙猴看甲猴拿得太多，就去抢一半，甲猴不服，又从4乙猴那儿抢走一半，乙猴不肯，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多2个，问甲猴最初准备拿几个？【练习】1、学校运来36棵树苗，小强和小平两人争着去栽，小强先拿了树苗若干棵，小平看到小强拿太多了就抢了10棵，小强不肯，又从小平那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是小平的2倍，问最初小强准备拿多少棵？2、李辉和张新各搬60本图书，李辉抢先拿了若干本，张新看李辉拿了太多，就抢了一半，李辉不肯，张新就给了他10本，这时李辉比张新多4本。问最初李辉拿了多少本？平均数问题1、一箱橘子、2箱苹果和3箱梨子共重100千克；2箱橘子、4箱苹果和1箱梨共重100千克。求每箱梨重多少千克。1、2只羊、3匹马和4头牛每天吃草143千克；一只羊、4匹马和2头牛每天吃草108千克。求一匹马每天吃草多少千克。2、3头牛和6只羊一天共吃草93千克，6头牛和5只羊一天共吃草130千克。3头牛一天共吃草多少千克？例1：李师傅前4天平均每天加工30个零件，改进技术后，第五天加工零件55个，李师傅5天中平均每天加工多少零件？1、四（1）班有学生40人，数学期末考试时有三位同学困病缺考，平均成绩是80分。后来这三位同学补考，成绩分别为88分、87分和85分，这时全班同学的平均成绩是多少分？5例2：王师傅4天平均加工26个零件，第5天加工的零件数比5天平均数还多4.8个。王师傅第5天加工多少个零件？2、一个学生前六次测验的平均分是93分，比七次测验的平均分高3分，他第七次测验得了多少分？例3：小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次要考100分才能把平均成绩提高到86分。这一次是第几次测验？3、小松前几次考试的平均成绩是84分，这一次考了94分就把平均成绩提高到86分了。这一次是第几次考试？例4：张明前五次数学测验的平均成绩是88分。为了使平均成绩达到92.5分，张明要连续考多少次满分？（每次测验满分是100分。）4、小王前5次数学考试的平均成绩是85.8分，为了使平均成绩尽快达到90分以上，小王至少还要参加几次考试？（每次满分为100分。）例5：一辆汽车林甲地开往乙地，前2小时每小时行40千米。为了按时到达，后3小时每小时加快5千米。汽车的平均速度是多少？5、一辆汽车从A地到B地，前3小时每小时行90千米，后2小时由于道路原因，每小时少行5千米。汽车从A地到B地的平均速度是多少？6当堂测试：1、10位同学在一次考试中，最高得分是95分，最低得分是75分，总平均分是81分，去掉最高分和最低分，其余8位同学的平均分是多少？2、明明家共有5个人，如果不算明明，其余4个人平均体重是56千克。当明明加入后，全家人的平均体重减少了2.6千克。明明的体重是多少千克？3、四（1）班学生中，9岁的有15人，10岁的有17人，11岁的人18人。四（1）班的平均年龄是多少？自主探究课后作业：【基础知识】(1)我们把按一定次序排成的一列数称为（）。数列中的每一个数都叫做这个数列的()。其中第一个数称为这个数列的()，通常也叫做()，最后一个数也就是最后一项，称为()。项的个数称为()。(2)对于一个从小到大或从大到小排列的数列，如果相邻两项之差都相等，则称此数列为()，相邻两项之差称为()。(3)3、7、11、15、19、23、27、31、35。在这个数列中，首项是()，末项是()，项数是()，公差是()。一、找规律填数(1)4、11、18、25、()、()……(4)1、6、11、16、()、()……(5)2、4、6、8、10、…、()、2002……二、选择题1、下面各组数列中，是等差数列的是()。A、1、2、3、4、5B、1、2、4、8、16C、98、96、98、96D、1、1、2、3、5、82、下面各组数列中，()和其他三组有区别。A、5、8、11、14、17B、50、40、30、20、107C、40、35、30、25、20D、5、10、20、40、803、下面说法错误的是()。A、我们把按一定次序排成列的一列数称为数列。B、数列中的每一个数都叫做这个数列的项。C、数列中第一个数称为这个数列的前项，最后一个数称为后项。D、一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个数，这个数列叫等差数列。二、计算：1、把一些圆柱形铁管按如图的样子摆在一起，如果正好摆了40层，共有多少根铁管?2、从1开始，每隔两个数写出一个数来，得到一个数列1、4、7、10、……前100项的和是多少？3、已知等差数列3、8、13、18、……问998是这个数列的第几项?4、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。5、把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？86、把100根小棒分成10堆，每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何分？1、下表是一个数字方阵，求表中所有数之和。1，2，3，4，5，6……98，99，1002，3，4，5，6，7……99，100，1013，4，5，6，7，8……100，101，102………………………………………………………100,101,102,103,104,105……197,198,1991、有一道加法题，某学生把个位上的5看作9，十位上的8看作3，所得的结果的和是123，正确答案是？2、某水果店，上午售出36千克水果，上午售出的水果是下午的2倍还多6千克，今天一共售出多少千克水果？3、小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9，除以4，减去2，再乘以3，恰好是30岁”，问王老师今年多少岁？4、某水果店卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个，这时只剩下一个菠萝，三次共卖得48元，求每个菠萝多少元？5、甲、乙、丙、丁四个朋友有彩色玻璃弹子100颗，甲给乙13棵，乙给丙18颗，丙给丁16颗，丁给甲2颗后四人的个数相等。他们原来各有弹子多少颗？6、书架上分上中下三层，共放192本书，现从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样9多的书放到下层，最后，从下层取出上层剩下的同样多的书放到上层，这时三层书架所放的书本数相等，这个书架上中下每层原来各放多少本书？7、有甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数，再从乙数中拿出18加到丙数。最后从丙数拿出12加到甲数，这时三个数都是180。问甲、乙、丙三个数原来各是多少？1、李冰期中考试语文、英语、自然的平均成绩是76分，数学成绩公布后，他的平均成绩提高了3分。李冰的数学成绩是多少分？2、张丰从甲地跑步到乙地。已知两地相距7千米，他先以每分钟250米的速度跑了，10分钟，然后以每分钟180米的速度跑到乙地。张丰从甲地到乙地的平谟每分钟多少米？3、五年级同学进行达标抽测，10名同学的跳高成绩（单位：厘米）分别是99，100，110，97，96，95，88，90，92，93。求他们跳高的平均成绩。4、在一次考试中，某小组10人平均成绩是87分，前八位同学的平均成绩是90分，第九位比第十位多2分。求第十位同学的得分。（用算式法和列方程方法。）5、四（1班）统计数学测验成绩，平均分为85.13。复查时发现将李新的成绩87分误作78分统计了。经重新统计，平均分为85.31分。四（1）班有多少名学生？6、小玲练习跳绳，她已经跳了若干次，准备最后再跳一次。如果最后这次跳48下，那么平均每次跳58下；如果最后次跳68下，那么平均每次跳60下。小玲已经跳了多少次？7、学校乒乓球队12人合影留念，普通彩照（至少洗2张）洗2张的价格是16元，然后每加洗1张只需0.8元。10如果1人得1张照片，平均每人应付多少元钱？7、一辆汽车从甲地开往乙地，上坡速度为每小时60千米，下坡速度为每小时100千米。现在这辆汽车从甲地出发，上坡用了4小时，下坡用了3小时，从原路返回时，下坡速度改为每小时80千米，而上坡速度不变。求这辆汽车往返一次的平均速度。8、小林从甲地到乙地，去时的速度为每小时30千米，回来时的速度为每小时50千米。求小林往返一次的平均速度。9、四（1）班有52人，四（2）班有48人。在一次考试中，两班全体学生的平均分为78分，四（2）班的平均分比四（1班）的平均分高5分。两个班的平均分各是多少？