高考中的创新题型的解题策略

2008高考考前数学专题讲座高考中的创新题型的解题策略主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略数学的创新题是相对于传统命题方式而言的，这类题目没有明确的条件或结论，或解题方向不明，自由度大，具有相当大的不确定性，需要通过对问题的观察、分析、类比、归纳等处理过程方能解决，其难度大，要求高，是训练和考查学生的数学思维能力，分析问题和解决问题能力的好题型，数学创新题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，为高层次思维创造了条件，是挖掘、提练数学思想方法，充分展示应用数学思维方法的良好载体，所以在高考中所占的比重会越来越大。在高考中的创新题型一般分为三类：第一类是定义信息型创新题；第二类是情景创新题，第三类是类比型创新题，第四类是跨学科型创新题。二、典例剖析题型一：定义信息型创新定义信息型创新题是近几年出现的新题型，因此此类型的背景新颖、构思巧妙，且又能有效地区别学生的思维品质和学习潜力，所以备受师生的青睐，解答这类问题通常分为三大步骤：（1）对新定义进行信息提取，确定归纳的方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；（3）对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息的提取和化归是解题的关键，也是解题的难点。例1．（06年广东卷）对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则（）A．B．C．D．思路分析：按定义求出p，q的值．解：由得，所以，故选B．例2.(06年上海)如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：①若p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个；③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3思路分析：（p，q）的个数就是到直线l1的距离为p的直线与到直线l2的距离为q的直线的交点的个数，作出满足条件的直线即可．解：选（D）①正确，此点为点O；②正确，注意到p，q为常数，由p，q中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q（或p）；③正确，四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的两条平行线的交点．点评：概念型创新题特点是首先给出一个定义，然后根据定义提出一系列问题．解决此类问题，先要认真理解题目给出的定义，把握定义的本质，在此基础上按定义处理问题．例3．（07年福建卷）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意，都有；（2）对称性：对于，若，则有；（3）传递性：对于，若，，则有．则称“~”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．解：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.例4．（06年福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=|x1－x2|＋|y1－y2|．给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则‖AC‖＋‖CB‖=‖AB‖;②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖2＋‖CB‖2=‖AB‖2；③在△ABC中，‖AC‖＋‖CB‖‖AB‖．其中真命题为___________.解：对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=|x1－x2|＋|y1－y2|，①若点C在线段AB上，设C点坐标为(x0，y0)，x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则=③在中，=∴命题①③成立，而命题②在中，若则明显不成立．则应填①③.例5．（07北京）已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，．其中是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的，总有，则称集合A具有性质P．（I）检验集合与是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（II）对任何具有性质P的集合A，证明：；（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．（I）解：集合不具有性质P．集合具有性质P，其相应的集合S和T是，．（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对共有个．因为，所以；又因为当时，时，，所以当时，．从而，集合T中元素的个数最多为，即．（III）解：m=n，证明如下：（1）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是S的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．故与也是T的不同元素．可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即，（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是T的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是S的不同元素．可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即，由（1）（2）可知，．例6．设、R，常数．定义运算“”：．（1）若求动点轨迹C的方程；（2）若，不过原点的直线l与x轴、y轴的交点分别为T、S，并且与(1)中轨迹C交于不同的两点P、Q，试求的取值范围；（3）设是平面上的任一点，定义、．若在（1）中轨迹C上存在不同的两点A1、A2，使得成立，求实数a的取值范围．解答：（1）设，又由，可得动点轨迹C的方程为：．（2）由题得，设直线，依题意，则．都在直线l上，则．由题，，∴.由消去得，．代入得，，又知，，所以.即的取值范围是．（3）由，，设，依题意则有，且，又，即且，故方程在有两个不等的实数解．平方整理有，在有两个不等的实数解．又，得．故实数的取值范围是．题型二：情境创新题这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体．可以较好的考查学生的学习能力，阅读理解能力，数学思维能力等．由于突出体现了“考思维能力与创新意识”这一特色，所以，在近几年的高考中，备受命题者的青睐．例7．(06陕西卷)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为:明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（）A．4，6，1，7B．7，6，1，4C．6，4，1，7D．1，6，4，7思路分析：本题的本质是一种对应，根据对应法则求出a，b，c，d的值．解：当接收方收到密文14，9，23，28时，则，解得，解密得到的明文为C．例8．某娱乐中心有如下摸奖活动：拿8个白球和8个黑球放在一盒中，规定：凡摸奖者，每人每次交费1元，每次从盒中摸出5个球，中奖情况为：摸出5个白球中20元，摸出4个白球1个黑球中2元，摸出3个白球2个黑球中价值为0.5元的纪念品1件，其他无任何奖励．（1）分别计算中奖20元、2元的概率；（2）若有1560人次摸奖，不计其他支出，用概率估计该中心收入多少钱？思路分析：本题是等可能事件的概率问题，用等可能事件的概率公式求解．解：（1）由已知中奖20元的概率P1=；中奖2元的概率P2=；中奖0.5元的概率P3=．（2）由（1）知体彩中心收费为1560元，付出1560××20＋1560××2＋1560××0.5=1080元，收入=1560－1080=480元．故知中奖20元、2元的概率分别为:、;估计该中心收入480元．点评：概率问题是高考命题的主干知识，涉及到的问题情景是常考常新的，多数是与生活实际和生产实际相关联的．例9．（06年北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（）A.B.C.D.解：依题意，有x1＝50＋x3－55＝x3－5，∴x1x3，同理，x2＝30＋x1－20＝x1＋10，∴x1x2，同理，x3＝30＋x2－35＝x2－5，∴x3x2，故选C.例10．这是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值为；（2）（将当前的值赋予新的）；（3）（将当前的值赋予新的）；（4）（将当前的值赋予新的）；（5）（将当前的值赋予新的）；（6）如果，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行；（7）打印；（8）程序终止．由语句（7）打印出的数值为_____________，_____________．请写出计算过程：点拨与提示：我们不难看出，该问题是一个循环、迭代的过程．为了更好的理解题意，我们不妨按照这个程序操作几次：nxyz判断初始值0110z7000，返回（2）一轮操作1325z7000，返回（2）二轮操作25425z7000，返回（2）三轮操作37881z7000，返回（2）…………就此操作下去，并不难得出答案，这也是本题的一种计算方法．从另一个角度考虑，本题中我们比较难以理解的是这样的语句：“；；……”，虽然题目中已经给出很好的解释，但是，按照我们通常的认识，应该用不同的符号来分别表达新值与旧值，如何从数学上较好的体现新值与旧值之间的不同，以及它们之间的联系呢？事实上注意到在整个计算的过程中，一方面，n的值似乎只起到一个计算第几轮的作用，另一方面，随着n的变化，的值随之变化．从这一个角度，不难想到，数列是一种较好的表示方法．答案：题型三：类比归纳型创新题类比归纳题型可锻炼学生的创造性思维，培养学生的创新精神和创造力，又因为其思维含量高、知识覆盖面广，综合性强、难度大，而且命题形式丰富多彩，因而备受高考命题者的青睐。“由特殊到一般”是解决这类题型的思维主线，主要类型有：（1）研究命题本身，对命题进行拓展，我们所熟悉的“观察——归纳——猜想——证明”是解决这类问题的常用方法，对命题拓展时要注意它们外在的形式特征，抓住规律性的东西。（2）解决问题的方法，对命题进行论证，对于给出的一般性结论，我们可先研究其简单的情形，通过类比归纳，探索出解决问题的方法。（3）穷举归纳，完善命题，可能的情形如果不是太多，即可通过全部列出的方法解决问题。例11．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题可以得到命题__________，这个命题的真假性是______.解：“如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角的平面角相等或互补”.当两棱不平行不成立，所以，这个命题是错误的.例12．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4…堆最底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放，从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)=________；f(n)=__________.（答案用n表示）.解析：f(3)=1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）=10，.例13．已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C′：－=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.解：类似的性质为若MN是双曲线－=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中－=1又设点P的坐标为（x，y），由kPM=，kPN=，得kPM·kPN=·=，将y2=x2－b2，n2=m2－b2，代入得kPM·kPN=.点评