高中数学奥赛讲义竞赛中常用的重要不等式

不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。竞赛中常用的重要不等式【内容综述】本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用【要点讲解】目录§1柯西不等式§2排序不等式§3切比雪夫不等式★★★§1。柯西不等式定理1对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当时成立。本不等式称为柯西不等式。思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。证明1∴右-左=当且仅当定值时，等式成立。思路2注意到时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。证明2当时等式成立；当时，注意到=1故当且仅当且（两次放缩等式成立条件要一致）即同号且常数，亦即思路3根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。证明3构造函数。由于恒非负，故其判别式即有等式当且仅当常数时成立。若柯西不等式显然成立。例1证明均值不等式链：调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。证设本题即是欲证：本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法(1)先证①注意到欲证①,即需证②此即由柯西不等式,易知②成立,从而①真(11)再证,③欲证③,只需证④而④即要证⑤(注意)由柯西不等式,知⑤成立.(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是即各正数彼此相等.说明：若再利用熟知的关系(★)（其中，结合代换，即当且仅当时，等式成立，说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等式链其中等式成产条件都是．§２．排序不等式定理２设有两组实数，满足则(例序积和)（乱序积和）（须序积和）其中是实数组一个排列，等式当且仅当或时成立。说明本不等式称排序不等式，俗称例序积和乱序积和须序积和。证法一．逐步调整法首先注意到数组也是有限个数的集合，从而也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。设注意下面的两个和注意，S（★）可见和数Ｓ中最大的和，只能是对应数组由小到大的顺序排列，最小的和就对应数组从大到小的依序排列，不符合如此须序的只要适当调整，如★所示就可越调越大（小），其中ｉ＝１，２……，n。证法＝设由的一个k阶子集则显见等式当且仅当式即，时,成立这就证明了乱序积和≤顺序积和注意列，仿上面证明，得这里含义同上，于是有又证明了例序积和≤乱序积和综上排序不等式成立.例2利用排序不等式证明柯西不等式：其中等式当且仅当为常数时成立。证不失一般性，设；，则由排序不等式可得（例序积和≤乱序积和)相加即得①又∵算术平均值不大于平方平均值，（★）故代入①，即得平方后，即得柯西不等式说明“算术平均≤平方平均”可用数学归纳法直接证明如下：证（i）设n=2，则显然成立（ii）设n=k时，成立，即有欲证n=k+1时，有成立，只需证考虑到归纳假设，只需证（★）而（★）是显然成立的,故n=k+1时命题成立,于是对且n≥2时,命题成立,正是因为存大着不依赖柯西不等式证明“算术平均≤平方平均”的证明方法，例2的证法就不存在循环论证之嫌，否则此证法是不宜的。例3利用排序不等式证明正数的算术平均数不小于几何平均数。证设，易见构造数列，使则由★知于是由排序不等式,有(乱序积和)(例序积和)，即从而其中等式当且仅当时成立说明这里构造了两个数列和为应用排序不等式创造了条件，得列一个证明均值不等式的简捷、漂亮解法。§3契比雪夫不等式设(i=1,2…，n)(i)若则顺序积和的算术平均数不小于这两组数算术平均数之积：；（ⅱ）若，则倒序积和的算术平均数不大于这两组数算术平均数之积：证明（i）由排序原理有，，……，迭加可得两边除以得等式当且仅当；类似可证(ⅱ)成立例4设，求证证明不妨令，则由切比雪夫不等式，有即从而得证说明大家较熟悉的美国竞赛题1979年青海赛题1978年上海赛题都是本例的特殊情况或变形。本周强化练习：★★★1．设求的最小值★★★2．若a、b、c是三角形三边长，s是半周长。求证：Vn∈N，下式成立解答或提示1．不妨令由切比雪夫不等式当且仅当2．设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c,()