高中数学教学论文含有一个量词的命题的否定新人教A版选修1-1

1含有一个量词的命题的否定要想对含有量词的命题进行否定，应首先判断此命题是全称命题还是存在性命题，也就是要找出语句中的全称量词或存在性量词。一、全称命题与存在性命题的判断全称量词一般包括短语“所有”、“任意一个”。常见的全称量词还有：“一切的”、“每一个”、“任给”、“全体”、“全部”等等。全称量词在陈述中表示所述事物的“全体”或“全部”。全称量词的特定符号是“”。含有全称量词的命题叫做全称命题。也就是说，全称命题一般都含有全称量词。存在性量词一般包括短语“存在一个”、“至少有一个”。常见的存在性量词还有：“有一个”、“有的”、“有些”、“某些”、“某一个”等等。存在性量词在陈述中表示所述事物的“个体”或“部分”。存在性量词的特定符号是“”。含有存在性量词的命题叫做存在性命题。也就是说，存在性命题一般都含有存在性量词。二、全称命题与存在性命题的否定1．全称命题的否定一般地，设()px是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，()px”的命题。用符号记为“xM，()px”，其否定命题为“xM，()px”。例1：写出下列命题的否定：（1）对任意的实数x，y都有222xyxy；（2）每一个四边形的四个顶点共圆；（3）xZ，2x的个位数不等于3。解析：每个命题都含有全称量词，所以都为全称命题，首先将全称量词“任意的”、“每一个”、“xZ”改为存在性量词“存在”、“存在一个”、“xZ”，然后否定性质即可。（1）存在实数x，y有222xyxy；（2）存在一个四边形的四个顶点不共圆；（3）xZ，2x的个位数等于3。评注：从命题形式看，全称命题的否定是存在性命题2．存在性命题的否定一般地，设()qx是某集合M的有些元素具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，()qx”的命题。用符号记为“xM，()qx”，其否定命题为“xM，()qx”。例2：写出下列命题的否定：（1）有些实数的绝对值是正数；（2）某些平行四边形是菱形；（3）xR，210x。解析：每个命题都含有存在性量词，所以都为存在性命题，首先将存在性量词“有些”、“某些”、“xR”改为全称量词“所有”、“每一个”、“xR”，然后否定性质即可。（1）所有实数的绝对值都不是正数；（2）每一个平行四边形都不是菱形；2（3）xR，210x。评注：从命题形式看，存在性命题的否定是全称命题。在具体的解题过程中，对于全称命题就是把全称量词改成存在性量词，即把“xM”改成“xM”，并把量词所具有的性质进行否定，即()px改成()px，最后得到结论“xM，()px”。对于存在性命题就是把存在性量词改成全称量词，即把“xM”改成“xM”，然后把量词所具有的性质进行否定，即()qx改成()qx，最后得到结论“xM，()qx”。例3：写出下列命题的否定，并指出原命题及其的真假（1）存在一个xZ，使246x；（2）|xxx是无理数，2x是无理数。解析：首先弄清楚是全称命题存在性命题，再针对不同形式加以否定，最后作出真假判断。（1）否定：对任意一个xZ，都有246x。由于存在1x，使246x，成立，所以“存在一个xZ，使246x”是真命题。原命题与其否定真假相反，所以其否命题是假命题。（2）否定：|xxx是无理数，2x是有理数。由于存在2x，使22x是有理数，所以命题的否定是真命题。原命题为假命题。跟踪训练：1、已知命题:pxR，sin1x≤，则（）Ａ．:pxR，sin1x≥Ｂ．:pxR，sin1x≥Ｃ．:pxR，sin1xＤ．:pxR，sin1x【答案】：C【分析】：p是对p的否定，先否定量词，再否定性质。故有：,xRsin1x。2、命题“xR，3210xx”的否定是（）Ａ．不存在xR，3210xxＢ．存在xR，3210xxＣ．存在xR，3210xxＤ．对任意的xR，3210xx【答案】:D【分析】：注意两点：1）存在性量词变为全称量词；2）只对结论进行否定。3、下列命题中真命题的个数是（）（1）xR，0x；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）实数的平方大于或等于零；（4）对所有的045，都有sincos。Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个【答案】:D【分析】：（1）存在1x，使0x，故为真命题；（2）1既不是合数，也不是素数，故为真命题；（3）3显然为真命题；（4）对所有的045，sincos，故为真命题。当原命题不好判断真假时，可从其否定入手。4、写出下列命题的否定，并判断其真假。（1）p：xR，2104xx；（2）q：所有的正方形都是矩形；（3）r：xR，2220xx；（4）s：至少有一个实数x，使310x。解析：这四个命题中，p、q是全称命题，r、s是存在性命题，全称命题“xM，()px”，其否定命题为“xM，()px”。存在性命题“xM，()qx”，其否定命题为“xM，()qx”。（1）p：xR，2104xx，这是假命题，因为xR，2211()042xxx恒成立。（2）q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题。（3）r：xR，2220xx，真命题，这是由于xR，2222(1)110xxx成立。（4）s：xR，310x，假命题，这是由于1x时，310x。