高中数学选修2-2综合试题

1数学试题（选修2-2）一、选择题（60分）1．(2010·全国Ⅱ理，1)复数3－i1＋i2＝()A．－3－4iB．－3＋4iC．3－4iD．3＋4i2曲线3xy在点)1,1(处的切线与x轴、直线2x所围成的三角形的面积为（）（A）38（B）37（C）35（D）343、已知直线kxy是xyln的切线，则k的值为（）（A）e1（B）e1（C）e2（D）e24.已知17,35,4abc则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．cabC．cbaD．bca5.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()fx，如果0()0fx，那么0xx是函数()fx的极值点，因为函数3()fxx在0x处的导数值(0)0f，所以，0x是函数3()fxx的极值点.以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确6..在复平面内,复数1+i与31i分别对应向量OA和OB,其中O为坐标原点,则AB=（）A.2B.2C.10D.47、函数2()1xfxx（）A．在(0,2)上单调递减B．在(,0)和(2,)上单调递增C．在(0,2)上单调递增D．在(,0)和(2,)上单调递减8.某个命题与正整数有关，若当)(*Nkkn时该命题成立，那么可推得当n1k时该命题也成立，现已知当5n时该命题不成立，那么可推得()(A)当6n时，该命题不成立(B)当6n时，该命题成立(C)当4n时，该命题成立(D)当4n时，该命题不成立9、用数学归纳法证明不等式“)2(2413212111nnnn”时的过程中，由kn到1kn时，不等式的左边（）（A）增加了一项)1(21k（B）增加了两项)1(21121kk（C）增加了两项)1(21121kk，又减少了11k；（D）增加了一项)1(21k，又减少了一项11k；210．已知f(x)＝x3＋x，若a，b，c∈R，且a＋b0，a＋c0，b＋c0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值()A．一定大于0B．一定等于0C．一定小于0D．正负都有可能11．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－3)x＋34上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A．[0，π2)B．[0，π2)∪[2π3，π)C．[2π3，π)D．[0，π2)∪(π2，2π3]12．(2010·江西理，5)等比数列{an}中a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…·(x－a8)，则f′(0)＝()A．26B．29C．212D．215二、填空题（20分）13、函数13)(3xxxf在闭区间]0,3[上的最大值与最小值分别为：14.由曲线2yx与2xy所围成的曲边形的面积为________________15．(2010·福建文，16)观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测，m－n＋p＝________.16.函数g(x)＝ax3＋2(1－a)x2－3ax在区间－∞，a3内单调递减，则a的取值范围是________．三、解答题（共6题，70分）17．（10分）设函数f(x)＝－ax2＋1＋x＋a，x∈(0,1]，a∈R*.(1)若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围；(2)求f(x)在(0,1]上的最大值．19、(12分)20.（12分）某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比。已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件。（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？21.（12分）、已知二次函数2()3fxaxbx在1x处取得极值，且在(0,3)点处的切线与直线20xy平行．(1）求()fx的解析式；(2）求函数()()4gxxfxx的单调递增区间及极值。（3）求函数()()4gxxfxx在2,0x的最值。21、（14分）、设函数()(1)ln(1),(1,0)fxxaxxxa.（1）求()fx的单调区间；（2）当1a时，若方程()fxt在1[,1]2上有两个实数解，求实数t的取值范围；（3）证明：当mn0时，(1)(1)nmmn.22（14分）、数列{an}的通项an21)1(nn，观察以下规律：a1=1＝1a1+a2=1－4＝－3＝－（1＋2）a1+a2+a3=1－4＋9＝6＝＋（1＋2＋3）……试写出求数列{an}的前n项和Sn的公式，并用数学归纳法证明。3高中数学选修2-2复习题答案一、选择题（每题5分）题号12345678答案BCCCDABB二、填空题（每空5分）9.22211121123(1)1nnn(n∈N*)；10.1i；11.13；12.1＋a＋a2；13.(－∞，－1]；14.4448412CCC13、【解析】∵g(x)在区间－∞，a3内单调递减，∴g′(x)＝3ax2＋4(1－a)x－3a在－∞，a3上的函数值非正，由于a0，对称轴x＝2a－13a0，故只需g′a3＝a33＋43a(1－a)－3a≤0，注意到a0，∴a2＋4(1－a)－9≥0，得a≤－1或a≥5(舍去)．故所求a的取值范围是(－∞，－1]．三、解答题15.解：（1）当2918mm＝0即m＝3或m＝6时，z为实数；…………………………3分当28150mm，29180mm即m＝5时，z为纯虚数.…………………………6分（2）当2281509180mmmm即3536mm即3m5时，对应点在第三象限.……………12分16.解：记一星期多卖商品2kx件，若记商品在一个星期的获利为()fx，则22()(309)(432)(21)(432)fxxkxxkx又有条件可知2242k解得6k所以32()61264329072,0,30fxxxxx（2）由（1）得/2()1825243218(2)(12)fxxxxx所以()fx在（0，2）递减（2，12）递增（12，30）递减所以12x时()fx取极大值，又(0)9072,(12)11664ff所以定价30-12=18（元）能使一个星期的商品销售利润最大。417、(1)由,可得.由题设可得即解得,.所以.(2)由题意得,所以.令,得,.4/270所以函数的单调递增区间为,.在有极小值为0。在有极大值4/27。（3）由2)2(,0)0(gg及（2），所以函数的最大值为2，最小值为0。18、解：（Ⅰ）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216PA，()1()10.2160.784PAPA．（Ⅱ）的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4PP，(250)(2)(3)0.20.20.4PPP，(300)1(200)(250)10.40.40.2PPP．的分布列为200250300P0.40.40.22000.42500.43000.2E240（元）．519、20、解：通过观察，猜想Sn=a1+a2+a3+……+an＝(-1)n+1（1＋2＋3+……+n）=2)1()1(1nnn…………4分下面用数学归纳法给予证明：（1）当n＝1时，S1=a1＝1，而12)11(1)1(2)1()1(21nnn∴当n＝1时，猜想成立……………………………………6分（2）假设当n=k(k≥1，*Nk)时，猜想成立，即Sk=2)1()1(1kkk………………………………7分那么Sk＋1=Sk＋ak+1=2)1()1(1kkk＋21)1()1()1(kk……………9分=)]1(2)1[(2)1()1(12kkkk………………………11分=2]1)1)[(1()1()2(2)1()1(1)1(2kkkkkk……12分6这就是说当n=k+1时，猜想也成立.………………………13分根据(1)(2)可知，对任意*Nn猜想都成立。……………………14分