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静态误差理论及数据处理综合应用报告摘要:误差理论从产生到发展,经历了很长一段时间。研究误差的意义在于能够正确认识误差的性质,分析误差产生的原因,并且正确处理测量和实验数据,合理计算所得结果。本文主要针对静态误差,具体阐述了静态误差理论,以及静态误差理论在实际数据处理中的具体运用。关键字:静态误差数据处理一、静态误差理论1.误差的基本性质1.1误差的基本概念误差是评定测量精度的尺度,误差越小表示精度越高。[1]在测量中,误差就是测量值与真值之差。若某物理量的测量值为y,真值为Y,则测量误差dy=y-Y。虽然真值是客观存在的,但实际应用时它一般无从得知。按照误差的性质,可分为随机误差,系统误差和粗大误差三类。随机误差:是同一测量条件下,重复测量中以不可预知方式变化的测量误差分量。系统误差:是同一测量条件下,重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。粗大误差:指超出在规定条件下预期的误差。1.2随机误差1.2.1定义测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误差。1.2.2特征在相同测量条件下,多次测量同一量值时,绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。1.2.3关于随机误差的正态分布特征当对同一量值进行多次等精度的重复测量,得到一系列的测量值,每个测量值都含有误差,这些误差的出现没有特定的规律,但就误差的总体而言,却有统计规律。多数随机误差都服从正态分布。[2]分析服从正态分布的随机误差的特性。设被测量值的真值为oL,一系列测得值为il,则测量列的随机误差i可表示为:oiiLl式中ni,,2,1。正态分布的分布密度)(f与分布函数)(F为)2/(2221)(efdeF)2(2221)(式中:σ——标准差(或均方根误差)e——自然对数的底,基值为2.7182……。它的数学期望为:0)(dfE它的方差为:df)(22由正态分布函数公式可知,即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等,这称为误差的对称性;绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多,这称为误差的单峰性;随机误差δ只是出现在一个有限的区间内,即[-kσ,+kσ],称为误差的有界性;随着测量次数的增加,随机误差的算术平均值趋向于零,这称为误差的补偿性。[3]1.2.4算术平均值及标准差的计算1.2.4.1算术平均值由于随机误差的抵偿性,当测量次数足够多时,正,负误差的绝对值相等,因此,多次测量的算术平均值作为被测量的测量结果,能减小随机误差的影响。设𝑥1,𝑥2,𝑥3,…,𝑥𝑛为n次测量值,则算术平均值𝑥̅为𝑥̅=1𝑛∑𝑥𝑖𝑛𝑖=11.2.4.2实验标准(偏)差由于随机误差的存在,等精度测量中各测得值一般皆不相同,它们围绕着测量列的平均值有一定的分散性,测量的标准差可用实验标准(偏)差表征,由贝赛尔公式计算。s=√1𝑛−1∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1应当指出,标准差不是测量列中任何一个具体测得值的随机误差,标准差的大小说明在一定条件下的等精度测量随机误差的概率分布情况。标准差大,随机误差的分布范围宽,精密度低;标准差小,随机误差的分布范围窄,精密度高。1.2.4.3算数平均值的标准偏差如果在相同条件下对同一量值做多组测量,每一测量列都有一算术平均值,由于随机误差的存在,各个测量列的平均值各不相同,它们围绕着真值有一定的分散性,因此可用算术平均值的标准差来表征算术平均值的分散性。𝑠𝑥̅=𝑠√𝑛=√1𝑛(𝑛−1)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=11.3系统误差1.3.1定义在重复性条件下,对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。1.3.2性质在相同条件下,多次测量同一量值时,该误差的绝对值和符号保持不变,或者在条件改变时,按某一确定规律变化的误差。1.3.3系统误差的发现方法如何发现测量中的系统误差,是分析和处理系统误差的首要问题。只有将产生系统误差的因素全部找出,才能采取相应的措施消除或减弱系统误差对测量结果的影响。由于产生系统误差的因素是多方面的,又很复杂,我们还不能找到一套适用于所有系统误差的通用方法。但对于测量中存在的较为显著的系统误差,可以通过一些检验方法和手段发现。[4]1.通过实验对比检验系统误差为了验证某一测量仪器或测量方法是否存在系差,可用高一级精度的仪器或测量方法给出标准量进行对比检验。这种检定不仅能发现测量中是否存在系差,而且能够确定具体数值。有时,由于测量精度高或被测参数复杂,难以找到高一级精度的测量仪器或测量方法提供的标准量。此时,可用同精度的其它仪器或测量方法给出的测量结果作对比,若发现明显差别,表明二者之间有系差。2.通过理论分析判断系统误差对测量器具、测量原理、方法及数据处理等方面进行具体分析,能够找到测量中的各系差因素。3.对测量数据进行直接判断通过观察测量数据的变化趋势,直接发现测量中的系统误差。这一方法较为粗略,但简单易行。4.用统计方法进行检验按随机误差的统计规律做出某种统计判断,如果不相符合,则说明包含系统误差。由于这种判别方法不涉及测量本身,仅针对测量数据因而便于使用。但每种统计方法都不是完美的,其应用是有限的,常用的有:残差校验法、阿贝-赫梅特判别法、残差总和判别法、标准差比较法等。1.4粗大误差1.4.1粗大误差的产生原因测量数据中包含随机误差和系统误差是正常的,只要测量误差在一定的范围内,测量结果就是正确的。但当测量者在测量时由于疏忽造成错误读取示值,错误纪录测量值,错误操作以及使用有缺欠的计量器具时,会出现粗大误差,此数据的误差分量明显偏大,即明显歪曲测量结果。任意一测量数据都含有测量误差,并服从某一分布,它使测量结果具有一定的分散性。因此,任凭直观判断,难于区分含有粗大误差的异常数据和正常数据。1.4.2粗大误差的判别方法在测量过程中,确实是因读错记错数据,仪器的突然故障,或外界条件的突变等异常情况引起的异常值,一经发现,就应在记录中除去,但需注明原因。这种从技术上和物理上找出产生异常值的原因,是发现和剔除粗大误差的首要方法。有时,在测量完成后也不能确知数据中是否含有粗大误差,这时可采用统计的方法进行判别。统计法的基本思想是:给定一个显著性水平,按一定分布确定一个临界值,凡超过这个界限的误差,就认为它不属于偶然误差的范围,而是粗大误差,该数据应予以剔除。在判别某个测得值是否含有粗大误差时,要特别慎重,应作充分的分析和研究,并根据判别准则予以确定。常用的判别准则有:3准则;罗曼诺夫斯基准则;格罗布斯准则等2.测量不确定度2.1定义测量不确定度是指测量结果变化的不肯定。[5]它是表征被测量的真值在某个量值范围的一个估计,是测量结果含有的一个参数,用来表示被测量值的分散度。从测量不确定度的定义中可知,一个完整的测量结果包括:被测量值的估计和分散性参数两个部分。即:测量结果=被测量的估计值+不确定度。2.2分类不确定度从评定方法上可分为两类:A类分量和B类分量。用统计方法来评定的不确定度称为A类不确定度评定,当测量误差服从正态分布时,以标准差表示称为标准不确定度,用符号u表示,u=s。由于标准差所对应的置信概率通常不够高,正态分布情况下仅为68.3%,因此还可用标准差的倍数来表示不确定度,用符号𝑈𝐴表示。扩展不确定度和标准不确定度的关系为𝑈𝐴=ku,式中k称为包含因子(或覆盖因子),是相对于置信概率p的置信系数。由于实际测量时一般为小样本,u的可信程度较低,所以应按t分布确定k值,t分布系数由附录中查找。不能由统计方法评定的不确定度称为B类不确定度评定,A类以外的不确定度均属B类不确定度。进行B类不确定度评定时,须分析实际情况,利用生产部门或研究部门提供的技术说明文件,以及对测量仪器特性的了解和经验,对测量值B类不确定度做出评定。要求评定者有一定的分析能力和经验,能根据不同的信息资料做出相应的处理。如当测量仪器检定证书上给出准确度等别时,可按检定系统或检定规程所规定的该等别的不确定度大小,按规定的分布(正态分布或t分布等)求出B类不确定度。当量仪器检定证书上给出准确度等级时,可按平均分布利用仪器规定的最大仪器误差进行评定。2.3直接测量不确定度的评定直接测量就是用测量仪器直接获得被测量的量值的方法,分为等精度和不等精度直接测量。2.3.1等精度直接测量的不确定度评定等精度测量是指参与测量的要素均不发生改变的条件下进行的多次重复测量。等精度测量是一个理想的条件。对等精度测量进行不确定度评定,首先要判定是否存在系统误差和粗大误差,对系统误差设法消除或加以修正,对测量数据进行粗大误差的判别,确定为粗大误差的应予以删除,不能够消除的系统误差应进行不确定度的B类评定。不确定度的A类评定:①计算测量列的算术平均值𝑥̅:𝑥̅=1𝑛∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1②计算残余误差𝑣𝑖:𝑣𝑖=𝑥𝑖−𝑥̅③计算算术平均值的标准偏差𝑠𝑥̅,及标准不确定度u=𝑠𝑥̅=√1𝑛(𝑛−1)∑𝑣𝑖2𝑛𝑖=1④确定包含因子𝑘𝑝包含因子𝑘𝑝与测量列的分布特征,自由度及置信水准p有关。⑤计算扩展不确定度𝑈𝐴𝑈𝐴=𝑘𝑝𝑢或𝑈𝐴=𝑡𝑝𝑢不确定度的B类评定:①已知置信水准和包含因子根据经验和有关信息资料,由置信区间a和相应的包含因子k按照公式求出标准B类不确定度:u=𝑎𝑘②已知扩展不确定度和包含因子如果仪器制造部门的说明书中明确给出扩展不确定度U和包含因子K,则可求出标准B类不确定度:u=𝑈𝑘③已知使用仪器的等级如果仪器制造部门的说明书中明确给出测量仪器的准确度等级,可按最大允许误差A来求标准B类不确定度:u=𝐴√3④已知重复性限和重复性限求不确定度如果仪器制造部门的说明书中明确给出重复性限r和复现性限R,则标准B类不确定度为:u=𝑟2.83或u=𝑅2.83考虑到包含因子,总的B类不确定度为:𝑈𝐵=𝑘𝑝u总的不确定度:U=√𝑈𝐴2+𝑈𝐵2⑤测量结果的表达X=𝑥̅±𝑈并标明置信水准2.3.2不等精度直接测量的不确定度评定计算不确定度时B类不确定度的求法与等精度测量相同,A类不确定度的计算如下:①权值的确定不等精度测量是指在测量过程中,除被测对象不改变,其他的要素发生改变的测量。如仪器、测量方法、测量环境以及测量人员中任何一项发生改变,都可认为是不等精度测量。不等精度测量中不确定度计算涉及权w,即测量的可信赖程度,权值越大可靠程度越高。在其他测量条件相同的情况下,测量次数越多,则测量结果越可靠,其权值也越大,故可用测量次数来确定权值,即w=n。假定同一个被测量有m组不等精度的测量结果,这m组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不同的一个系列测量值求得的算术平均值。因为单次测量精度都相同,其标准差均为s,则算术平均值的标准差为𝑆𝑖=𝑆√𝑛𝑖𝑖=1,2,3,…,𝑚由此得到𝑛1𝑠12=𝑛2𝑠22=⋯=𝑛𝑚𝑠𝑚2=𝑠2,因为w=n,又可写成𝑤1𝑠12=𝑛2𝑠22=⋯=𝑛𝑚𝑠𝑚2=𝑠2或表示成𝑤1:𝑤2:…∶𝑤𝑛=1𝑠12:1𝑠22:…:1𝑠𝑛2即测量结果的权值𝑤𝑖与其相应的方差成反比②测量列的算术平均值𝑥̅:𝑥̅=∑𝑤𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖=1∑𝑤𝑖𝑛𝑖=1③算术平均值的标准偏差𝑠𝑥̅:𝑠𝑥̅=1√∑1𝑠𝑖2𝑛𝑖=1上式是已知𝑠𝑖时的不确定度计算,如果权值已知,当然也可根据权值计算不确定度,见下式:𝑠𝑥̅=√∑𝑤𝑖𝑣𝑖2𝑛𝑖=1(𝑛−1)∑𝑤𝑖𝑛𝑖=1④计算扩展不确定度𝑈𝐴𝑈𝐴=𝑘𝑝𝑢包含因子𝑘𝑝与测量列的分布特征、自由度及置信水准P有关最后合成总不确定度U=√𝑈𝐴2+𝑈𝐵2并写出结果表达式2.4提高测量精度的途径在拟定或设计测量方法时,需要确定测量的不确定度。测量的总不确定度应根据被测量的精度要求恰当的给以规定
本文标题:静态误差理论及数据处理数据报告
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