量子力学导论第12章答案

1第十二章散射12－1)对低能粒子散射，设只考虑s波和p波，写出散射截面的一般形式。解：202cossin121llliPelkl只考虑s波和p波，则只取1,0l，于是211002cossin3cossin110PePekii1cos0P，,coscos1P代入上式，得2102cossin3sin110iieek22121010022cossin9coscoscossin6sin1k222102coscos1AAAk其中020sinA，10101coscossin6A，122sin9A。12－2)用波恩近似法计算如下势散射的微分截面：（a）.,0;,0ararVrV（b）20reVrV（c）rerV（d）.rrV解：本题的势场皆为中心势场，故有0''''2sin2drqrrVrquf，2sin2kq（1）20''''2422sin4drqrrVrquf（1）（a）qaqaqaqVdrqrVracossinsin200''0'264202cossin4qaqaqaqVu（b）0''00''0'''2'2'2sindreeeriVdrqreVriqriqrrr20'42'0'42'022'22'2drerdreriVqiqrqiqr0'2'0'2'402'2'22drerdrereiViqriqrq214022IIeiVq（3）其中1I0'2'2'dreriqr0'20'2'2'2'22dreiqdreiqriqriqr00222deiqde23421iq（4）类似地可求得2I0'2'2'dreriqr23421iq（5）（4）、（5）代入（3），得423023400''0'222'422sinqqreqViqeiVdrqreVr（6）代入（2），得23420224qeVu（7）（c）Idrqredrqrrerrr0''0''''sinsin''0''sinrdeqr0''0'cossin''drqreqeqrrr0''cos1rdeqrq0''0'2sincos''drqreqeqrqrrIqq12由此解得I220''''sin'qqdrqrrerr（8）代入（2），解得22242222224244quqqqu（9）将.rrV代入§12.3.2式（18），3''32'2,rVerdufrqi，得''32'2,rerdufrqi22u422222,uf（10）可见，与,均无关，是各项同性的，422u。12－3)计算低能粒子散射截面（只考虑波），设粒子自旋为21，相互作用为ararVrV,0,210（1）,00V入射粒子和靶粒子均未极化。提示：计及粒子的全同性，对于s态（0l，空间波函数对称），两粒子自旋之和必为0s（单态），所以ararVrV,0,30（1’）解：自旋为21的二全同粒子体系的总波函数必须是交换反对称的，s波（0l）波函数是两粒子空间坐标的对称函数，所以自旋波函数必须是反对称的，即为自旋单态，因此，体系总自旋为0，321亦即，对于低能s波散射，式（1）等价于球方势阱ararVrV,0,30（1’）在质心系中，s波空间波函数可以写成rrur（2）其中r为两粒子的相对距离，即0,21Errr时。径向方程为022urVuu（3）亦即aruaruku,0,0200E（3’）其中00036mVuVk（4）m为粒子质量，2m为两粒子体系的约化质量。4方程（3’）满足边界条件00u的解为ararCarrkAru,1,sin00（5）其中0a为散射密度（待定），0a即散射振幅，利用ar处uu'的连续条件，求得0a1tan00akaka（6）0af1tan00akaka（7）由于是全同粒子散射，s波微分截面为2024aff（8）总截面（自旋单态，s波）为20164at（9）考虑到入射粒子和靶粒子都是未极化的，自旋指向取随机分布，两粒子形成自旋单态0s的几率为41，形成自旋三重态1s的几率为43，后若对s波散射无贡献。因此，有效的总截面为2002201tan4441akakaat有效（10）在不发生共振散射的条件下，散射振幅和散射截面均和入射能量无关，这是低能散射的特点。共振散射的条件为0a，亦即（参考式（6））,25,23,20ak（11）这正是势阱的“阱口”出现束缚能级0E的条件，这时式（9）和（10）应改为mEuEkfct22223281616（12）mEt2841有效其中E为实验室坐标系中入射中子动能，2EEc为质心系中总动能，ukEc222。5