高一数学三角函数的最值问题

梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()--最大的免费教育资源网站三角函数的最值问题三角函数的最值问题是本学期高一的一个重要的专题，本文可作为课外辅导材料，也可作为三角函数的一个专题复习内容。三角函数的最值问题的训练可提高学生灵活运用三角公式、三角函数图象性质的能力。求三角函数的最值要注意其特殊性（正、余弦的有界性），同时也要注意运用求一般函数最值的通法（如运用函数的单调性，配方法等）。求三角函数的最值往往先通过适当的三角变换或代数换元化归为基本类型的三角函数或代数函数。常见的三角函数最值的基本类型有：（1）y=asinx+b（或y=acosx+b）型，利用1cos1sinxx或，即可求解，此时必须注意字母a的符号对最值的影响。（2）y=asinx+bcosx型，引入辅助角，化为y=22basin（x+）,利用函数1sinx即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化为此类。（3）y=asin2x+bsinx+c（或y=acos2x+bcosx+c），型，可令t=sinx（t=cosx）,-1≤t≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。（4）Y=dxcbxasinsin（或y=dxbxacoscos）型，解出sinx（或cosx）,利用1cos1sinxx或去解；或用分离常数的方法去解决。（5）y=dxcbxacossin（y=dxcbxasincos）型，可化归为sin（x+）g（y）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c时，还可利用数形结合的方法去处理上。（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,2t,将sinxcosx转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。例1：已知,0,f（）=sin(cos)的最大值为a,最小值为b，g()=cos(sin)的最大值为c,最小值为d,则a,b,c,d的大小顺序为。0cos1,1,sincossin1,sin122sin1,sin1,0sin0,10,cossincos1,121,cos1sin1abcdabdac分析：，，，，例2：函数f(x)=cos2x+sinx在区间,44上的最小值是什么？222minsinsin1,2,,4421512421222fxxxxfxttttfx分析：化为2,设t=sinx-2时，例3求函数f()=2cos1Sin的最大值与最小值是什么？2sincos121sin12tanyyyyysin-1分析：法一：设y=f=,去分母整理化为cos-2梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()--最大的免费教育资源网站2124sin1031yyy22A2,1Bcos,sinBcos,sin1fxysin-1法二：可看作经过两点、cos-2的直线的斜率，点在单位圆：上运动，yL2xL1A由图可知当直线AB处于L1的位置时，斜率取最小值0，当直线处于L2的位置时，斜率取最大值43。所以403f例4、函数f(x)=2sin1sin3xx的最大值是，最小值是maxmin3sin277234,sin2sin233sin112sin1,1sin2322,4433xfxxxxyyfxxxyyy分析：与上例不同。法一：分离常数法：法二：设即fx的最大值是，最小值是－例5、求y=xxxxcossin1cossin的最值？2maxminsincos,2sin2,214112121sincos,,2222xxttxtttxxyyy分析：设则但例6、已知f(x)=2cos2x+3sin2x+a,若x)(,2,0xf且＜2,求a的取值范围。22cos3sin21cos23sin22sin21670,212sin222666622222sin212612sin216232sin26fxxxaxxaxaxxxfxfxxaaxaaax分析：又2,1a即注：本题综合运用三角恒等变形，三角函数的单调性，不等式的性质，函数的恒成立等知识，是一个较好的三角函数综合题。例7、在△ABC中，求cosAcosBcosC的最大值。本题是一个经典习题，有多种解法。下面解法中把角C当作主元化为二次形式，再进行配方，又利用cos0,1AB，此法具有一般性。梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()--最大的免费教育资源网站2221coscoscoscoscoscos211coscoscos22coscos1cos228cosABC318ABCABABCCABCABABCAB分析：1由此可知当cosC=，即＝＝＝时，2原式到得最大值。附：巩固性练习：1、函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A1＋2B2－1C2D22、函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是（）A3B25C12212222D3、已知函数y=asinx+bcosx,当f(4)=2,且f(x)的最大值为10时，求a,b的值。4、设x+y=120°,则y=cos2x+cos2y的最大值为多少？5、在直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB。(93(6)3分)A.有最大值21和最小值0，B.有最大值21，但无最小值C.既无最大值也无最小值D.有最大值1，但无最小值6、函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝Mcos(ωx＋φ)区间[a，b]上。(99(4)4分)A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值MD.可以取得最小值－M7、函数y＝xxcossin21的最大值是。(2000安徽(10)4分)A.22－1B.22＋1C.1－22D.－1－228、函数y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最大值是___________.(90(19)3分)9、函数y＝sin2x－sinxcosx＋cos2x的最大值是___________(92上海)10、求函数y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最小值，并写出使函数y取得最小值的x的集合.(91(21)8分)12、（2005全国卷Ⅰ）当20x时，函数xxxxf2sinsin82cos1)(2的最小值为（）（A）2（B）32（C）4（D）3413、(2005浙江卷)已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是()(A)1(B)－1(C)2k＋1(D)－2k＋114.（2005湖北卷）函数1cos|sin|xxy的最小正周期与最大值的和为＿＿＿15、（2005重庆卷）若函数)2cos(2sin)2sin(42cos1)(xxaxxxf的最大值为2，试确定常数a的值.16、．（2005重庆卷）若函数)4sin(sin)2sin(22cos1)(2xaxxxxf的最大值为32，试确定常梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()--最大的免费教育资源网站数a的值.答案：1、A，2、C，3、a=-6,b=8或a=8,b=-6，4、235、B，6、C，7、B，12、D，13、A，14、21215、.15,.444111sin),sin(441sin2cos212cos2sincos4cos2)(:2222aaaxaxaxxxaxxxf解之得由已知有满足其中角解16、．解：)4sin(sin)2sin(21cos21)(22xaxxxxf)4sin(cossin)4sin(sincos2cos2222xaxxxaxxx)4sin()2()4sin()4sin(222xaxax因为)(xf的最大值为)4sin(,32x的最大值为1，则,3222a所以,3a