软院11年11月6日高等工程数学试题(山西移动)

1软件学院2011年工程硕士研究生高等工程数学期末考试题(山西移动班10月）一.填空题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分)1.有8个人围圆桌而坐,其中两人不愿坐在一起,不同的就坐方式数为.2.设多重集B{2,,32}abcd，,将B中所有元素进行全排列，不同排列的个数为.3.方程121015xxx的正整数解的个数等于.4.集合{1,2,3,,}(3)Snn的全排列中至多有3个元素在原来位置直的排列数为.5.从集合{1,2,3,,15}S中取出5个数,要求取出的数没有两个是相邻的,则不同的取法数为.6.若,,,abcd为整数，,cadb，则从格子点(,)ab到点(,)cd的非降路径数为.7.设群11(,)Z中乘法为[][][]xyxy,则元素[7]的逆元素1[7]8.剩余类环10{[0],[1],[2],[3],,[8],[9]}Z的零因子是.9.设域2FZ,在[]Fx取多项式3()1pxxx,则域[]/(())Fxpx中元素x对乘法的阶为.10.一个连通的(,)pq图是树的充分必要条件是.2二(10分).求(1)由1,2,3,4,5,6组成的各位数字互异的4位偶数的个数;(2)求由1,2,3,4,5,6组成的大于35000的5位数的个数.三(10分).求解递推关系1230124520(3),5,7,12.nnnnaaaanaaa，四(10分).由1，2，3，4，5,6,7组成n位数，要求1，2出现偶数次，3，4出现奇数次,5,6,7没有限制，求这样的n位数的个数.五(10分).设N是任意一个正整数.试证明:必存在由0和3组成的正整数,该正整数能被N整除.六(1０分).设有n个标号球,放入k个标号盒.试求:(1)要求每盒不空时的放法数;(2)盒允许空时的放法数;(3)由此证明等式2222(,1)2!(,2)3!(,3)!(,).123nkkkkSnSnSnkSnkkk其中2(,)(1,2,,)Sniik表示第二数Stirling数.七(1０分)．设(,)G是一个半群.证明:若下列条件满足，则(,)G作成群．(1)(,)G中有左单位元e:,eaaaG;(2)(,)G中任一元素a有左逆元1aG:1aae.3软件学院2010年工程硕士研究生高等工程数学期末考试题(山西移动班5月）参考答案及评分标准二.填空题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分)1.有8个人围圆桌而坐,其中两人不愿坐在一起,不同的就坐方式数为.(3600)2.设多重集B{2,,32}abcd，,将B中所有元素进行全排列，不同排列的个数为.3.方程121015xxx的正整数解的个数等于.4.集合{1,2,3,,}(3)Snn的全排列中至多有3个元素在原来位置直的排列数为.5.从集合{1,2,3,,15}S中取出5个数,要求取出的数没有两个是相邻的,则不同的取法数为.6.若,,,abcd为整数，,cadb，则从格子点(,)ab到点(,)cd的非降路径数为.7.设群11(,)Z中乘法为[][][]xyxy,则元素[7]的逆元素1[7]8.剩余类环10{[0],[1],[2],[3],,[8],[9]}Z的零因子是.9.设域2FZ,在[]Fx取多项式3()1pxxx,则域[]/(())Fxpx中元素x对乘法的阶为.10.一个连通的(,)pq图是树的充分必要条件是.4二(10分).求(1)由1,2,3,4,5,6组成的各位数字互异的4位偶数的个数;(2)求由1,2,3,4,5,6组成的大于35000的5位数的个数.解:(1)由1,2,3,4,5,6组成的各位数字互异,且个位数字为2,4,6的偶数均有(5,3)60P个,由加法法则,所求数的个数为3(5,3)360180NP(2)万位数字是3的5位数.属于此类的5位数的千位数字必为5或6,所以属于此类的5位数有326632个.万位数字大于3的5位数.属于此类的5位数的万位数字必为4,5或6,故属于此类的5位数有4363888个.由加法原理知,所求数的个数为43238884320N.三(10分).求解递推关系1230124520(3),5,7,12.nnnnaaaanaaa，解:特征方程为特征方程为324520xxx.特征根为:1231,2xxx.通解为:1231231122,(0,1,2,)nnnnaccncccncn由初始条件得:131231231272412cccccccc,解得1232,1,3ccc.所以2232,(0,1,2,).nann四(10分).由1，2，3，4，5,6,7组成n位数，要求1，2出现偶数次，3，4出现奇数次,5,6,7没有限制，求这样的n位数的个数.5解:设所求n位数的个数为na,则{}na的指数型母函数为24322()(1)()2!4!1!3!exxxxGx23(1)1!2!3!xxx2234431()()(2)2216xxxxxxxxeeeeeeee731(2)16xxxeeen0n0n01(7)()(3)216!!!nnnxxxnnn1n01[7(1)23]16!nnnnxn所以11[7(1)23].16nnnna五(10分).设N是任意一个正整数.试证明:必存在由0和3组成的正整数,该正整数能被N整除.解:令1233,33,333,,333(NaaaaN个3)令,01,1,2,.iiiianNrrNiN(1)若有00i,则000|iiianNNa,结论成立;(2)若对每个(1,2,,),0iiiNr,则由鸽笼原理必有1ijN,使得()ijjijirraannN,从而()30|333000jijiiNaa个个.六(1０分).设有n个标号球,放入k个标号盒.试求:(4)要求每盒不空时的放法数;(5)盒允许空时的放法数;6(6)由此证明等式2222(,1)2!(,2)3!(,3)!(,).123nkkkkSnSnSnkSnkkk其中2(,)(1,2,,)Sniik表示第二数Stirling数.解:(1)要求每盒不空的放法数为2!(,).kSnk(2)盒子允许空的放法数为2222(,1)2!(,2)3!(,3)!(,)123kkkkSnSnSnkSnkk.(3)当盒子允许空时,每个球有k种放法,根据乘法原理,总的放法数为nk.于是有2222(,1)2!(,2)3!(,3)!(,).123nkkkkSnSnSnkSnkkk七(1０分)．设(,)G是一个半群.证明:若下列条件满足，则(,)G作成群．(1)(,)G中有左单位元e:,eaaaG;(2)(,)G中任一元素a有左逆元1aG:1aae.证明:(1)对每个aG,a的左逆元1a也有左逆元a,即.aae于是1111()()()aaeaaaaaa1111()()aaaaaeaaae所以1a是a的逆元.(2)证明e是G的单位元,为此只要证明e也是G的右单位元.因为11()()aeaaaaaaeaa,所以e是G的单位元.