3单步法的收敛性与稳定性

一、收敛性/*Convergence*/§3单步法的收敛性、相容性和绝对稳定性1(,,)nnnnyyhxyh对于初值问题的一种000(,)();dyfxydxyxyxx()1Def单步法产生的近似解，如果对于任一固定的，均有，0nxxnh则称该单步法是收敛的。0lim()nnhyyx类似地可以定义隐式单步法、多步法（§4）的收敛性31.Th设初值问题（*）对应的下列单步法是阶的，1(,,)nnnnyyhxyhp且函数满足对的Lipschitz条件，即存在常数y0L121212|(,,)(,,)|||,xyhxyhLyyyy则该单步法是收敛的，且()()pnnyxyOh证明：()nnneyxy记由截断误差的定义11()()(,(),)nnnnnyxyxhxyxhT11[(,(),)(,,)]nnnnnnneehxyxhxyhT因为单步法是阶的：p000,hhh满足11||pnTCh11||||||pnnneehLeCh||ne其中11,phLCh212||||||nnneee3231||()ne2101||||(...)nnnee10001||exp[()]||{exp[()]}pnnneLxxeChLLxx101{exp[()]}pnChLLxx()pneOh00()h二、相容性/*Consistency*/()()(,(),)yxhyxhxyxh0[()()...]()[(,(),)...]yxhyxyxhxyx0[()(,(),)]...hyxxyx1()pOh100()(,(),)pyxxyx对于阶方法：1(,,)nnnnyyhxyhp()若方法（**）的增量函数满足：2Def0(,,)(,)xyfxy则称该方法与初值问题（*）相容。设方法（**）与初值问题（*）相容，且满足L-条件，则该方法（**）是收敛的，即当固定，时nxx0h()nnyyx1(,,)nnnnyyxyhh0(,(),)()nnnxyxyx()(,())nnnyxfxyx再由相容性得：上式说明：当时，方法（**）趋于原微分方程0h本章讨论的数值方法都是与原初值问题相容的三、绝对稳定性/*AbsoluteStibility*/计算过程中产生的舍入误差对计算结果的影响首先以Euler公式为例，来讨论一下舍入误差的传播:1(,)nnnnyyhfxy设实际计算得到的点的近似函数值为，nnnyynxny其中为精确值，为误差n1(,)nnnnyyhfxy111nnnyy11[(,)(,)][(,)]nnnnnnynnhfxyfxyhfx如果，则误差是不增的，故可认为是稳定的11||yhf例如：对于初值问题0()yyyxa精确解为0xxyae而实际求解的初值问题为0()yyyxaa精确解为0()xxyaae在处的误差为nx0nxxae可见误差随着的增加呈指数函数增长nx如果初值问题为0()yyyxa精确解为0xxyae实际求解的初值问题为0()yyyxaa精确解为0()xxyaae在处的误差为nx0nxxae可见误差随着的增加呈指数函数递减nx当时，微分方程是不稳定的；0yf而时，微分方程是稳定的。0yf上面讨论的稳定性，与数值方法和方程中有关f实验方程：0,Re()yyC1(,,)nnnnyyhxyh对单步法应用实验方程，1()nnyEhy3Defh如果，当时，则称该1()Eh单步法是绝对稳定的，在复平面上复变量满足1()Eh的区域，称为该单步法的绝对稳定域，它与实轴的交集称为绝对稳定区间。1111()()pnnnTyxyOh若单步法是阶的，则p由实验方程可得：1()exp()nnyxyh1exp()()()pnnyhEhyOh()exp()Ehh11()()nnnnyyhyhy例3：分别求Euler法和经典的R-K法的绝对稳定区间。1()Ehh解：Euler公式：1(,)nnnnyyhfxy将其应用于实验方程绝对稳定域：11h1120hh当时，R绝对稳定区间：20(,)经典的R-K公式：11234226()nnhyykkkk1(,)nnkfxy211222(,)()nnnhhhkfxykyk322222(,)()nnnhhhkfxykyk433(,)()nnnkfxhyhkyhk22()nhy23224()nhhy3nyhk2341234()()()()!!!hhhEhh22334411234()!!!nnhhhyhyny当时，R绝对稳定区间：27850(.,)23411234()()()()!!!hhhEhh可以证明：存在唯一极小值点2341234()!!!tttgtt15960270.;().tgt23411234()!!!tttgtt由得例4：求梯形公式（隐式方法）的绝对稳定区间。解：梯形公式：1112[(,)(,)]nnnnnnhyyfxyfxy112[]nnnnhyyyy将其应用于实验方程11212nnhyyh1212()hEhh10()Ehh当时，R绝对稳定区间：0(,)