第五章-图形变换之旋转

第五章图形变换之旋转技巧提炼1､旋转是中考压轴题中常见题型,在解这类题目时,什么时候需要构造旋转,怎么构造旋转｡下面,就不同类型的旋转问题,给出构造旋转图形的解题方法:(1)遇中点,旋180°,构造中心对称;(2)遇90°,旋90°,造垂直;(3)遇60°,旋60°,造等边;(4)遇等腰,旋顶角｡综上四点得出旋转的本质特征:等线段,共顶点,就可以有旋转｡2､图形旋转后我们需要证明旋转全等,而旋转全等中的难点实际上是倒角｡下面给出旋转常用倒角,只要是旋转,必然存在这两个倒角之一｡如图(a)所示,若∠AOB=∠COD,必有∠AOC=∠BOD,反之亦然｡如图(b)所示,若∠A=∠D,必有∠B=∠C｡(a)(b)例题精讲例1(1)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,图中阴影部分的面积为()A､331B､33C､431D､21(2)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,图中阴影部分的面积为_________｡例2如图所示,E､F分别是正方形ABCD的边BC､DC上的点,且∠EAF=45°,求证:EF=BE+DF｡例3如图所示,在△ABC的边AC,AB为一边,分别向三角形的外侧作正方形ACFG和正方形ABDE,连接EC交AB于点H,连接BG交CE于点M,求证:BG⊥CE｡例4如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,在四边形BDEC中,DB=DE,∠BDE=2α,M为CE的中点,连接AM,DM｡(1)在图中画出△DEM关于点M成中心对称的图形;(2)求证:AM⊥DM;(3)当α=______,AM=DM｡例5已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD｡探究下列问题:(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60∘,则CD=______;(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90∘,则CD=______;(3)如图3,当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的∠ACB的度数｡例6已知∠MAN,AC平分∠MAN｡(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,AB+AD_______AC｡(填写“”,“”,“=”)(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由｡⑶在图3中:①若∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,判断AB+AD与AC的数量关系,并说明理由②若∠MAN=α(0°α180°),∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=_______AC(用含α的三角函数表示,直接写出结果,不必证明)例7如图1所示,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA､OD到点F､E,使OF=2OA,OE=2OD,连接EF｡将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2)｡(1)探究AE1与BF1的数量关系,并给予证明｡(2)当α=30∘时,求证:△AOE1为直角三角形｡例8(1)如图1,点E｡F分别是正方形ABCD的边BC､CD上的点,∠EAF=45∘,连接EF,则EF､BE､FD之间的数量关系是:EF=BE+FD｡连结BD,交AE､AF于点M､N,且MN､BM､DN满足MN2=BM2+DN2,请证明这个等量关系;(2)在△ABC中,AB=AC,点D､E分别为BC边上的两点｡①如图2,当∠BAC=60∘,∠DAE=30∘时,BD､DE､EC应满足的等量关系是___________;②如图3,当∠BAC=α,(0∘α90∘),∠DAE=21α时,BD､DE､EC应满足的等量关系是_____________｡牛刀小试1､如图5-11所示,△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的,则这点的坐标是_________｡2､如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90∘,点D是BC上的任意一点,探究:BD2+CD2与AD2的关系,并证明你的结论｡3､已知:△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5｡求:∠APB的度数4､如图1,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,E恰为BC的中点,tanB=2｡(1)求证:AD=AE;(2)如图2,点P在线段BE上,作EF⊥DP于点F,连接AF,求证:DF−EF=2AF;(3)请你在图3中画图探究:当P为射线EC上任意一点(P不与点E重合)时,作EF⊥DP于点F,连接AF,线段DF､EF与AF之间有怎样的数量关系?直接写出你的结论｡5､请阅读下列材料:已知:如图1在Rt△ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC,点D､E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45度｡探究线段BD､DE､EC三条线段之间的数量关系｡小明的思路是:把△AEC绕点A顺时针旋转90∘,得到△ABE′,连接E′D,使问题得到解决｡请你参考小明的思路探究并解决下列问题:(1)猜想BD､DE､EC三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图2,其它条件不变,(1)中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明｡6､(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE｡求证:CE=CF;(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45∘,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD｡(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BCAD),∠B=90∘,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45∘,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积｡7､请阅读下列材料:问题:如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG与PC的位置关系及PGPC的值.小聪同学的思路是:延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值;(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明;(3)若图1中∠ABC=∠BEF=2α(0°α90°),将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出PGPC的值(用含α的式子表示).8､已知:在Rt△ABC中,AB=BC,在Rt△ADE中,AD=DE,连接EC,取EC的中点M,连接DM和BM｡(1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图1,探索BM､DM的关系并给予证明;(2)如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45∘的角,如图2,那么(1)中的结论是否仍成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明｡9､已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF,BE=EF,∠BEF=90∘,按图①放置,使点F在BC上,取DF的中点G,连接EG､CG｡(1)探索EG､CG的数量关系和位置关系并证明;(2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45∘,再连接DF,取DF中点G(如图②),问(1)中的结论是否仍然成立｡证明你的结论;(3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0∘到90∘之间),再连接DF,取DF的中点G(如图③),问(1)中的结论是否仍然成立,证明你的结论｡10､在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.(1)如图1,连接EC,求证:△EBC是等边三角形;(2)点M是线段CD上的一点(不与点C,D重合),以BM为一边,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延长线于点G.请你在图2中画出完整图形,并直接写出MD,DG,与,AD之间的数量关系;(3)如图3,点N是线段AD上的一点,以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延长线于点G,且MB=MG.试探究ND,DG与AD数量之间的关系,并说明理由.11､请阅读下列材料:问题:如图1,△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,MN是过点A的直线,DB⊥MN于点D,联结CD｡求证:BD+AD=2CD｡小明的思考过程如下:要证BD+AD=2CD,需要将BD,AD转化到同一条直线上,可以在MN上截取AE=BD,并联结EC,可证△ACE和△BCD全等,得到CE=CD,且∠ACE=∠BCD,由此推出△CDE为等腰直角三角形,可知DE=2CD,于是结论得证｡小聪的思考过程如下:要证BD+AD=2CD,需要构造以CD为腰的等腰直角三角形,可以过点C作CE⊥CD交MN于点E,可证△ACE和△BCD全等,得到CE=CD,且AE=BD,由此推出△CDE为等腰直角三角形,可知DE=2CD,于是结论得证｡请你参考小明或小聪的思考过程解决下面的问题:(1)将图1中的直线MN绕点A旋转到图2和图3的两种位置时,其它条件不变,猜想BD,AD,CD之间的数量关系,并选择其中一个图形加以证明;(2)在直线MN绕点A旋转的过程中,当∠BCD=30∘,BD=2时,CD=____________｡