第五章测量误差基本知识.

测量误差误差---测量中被观测的对象，客观上存在一个真实值，称为真值；每次测量所得的数据为观测值。两者的差值为真误差。测量值。真实值；ilXiiXl第五章测量误差基本知识测量误差产生测量误差的三大因素：①仪器原因---仪器精度的局限,轴系残余误差,等。②人的原因---判断力和分辨率的限制,经验,等。③外界影响---气象因素(温度变化,风,大气折光)。结论：观测误差不可避免(粗差除外)。观测条件---上述三大因素总称为观测条件；等精度观测---在上述条件基本相同的情况下进行的各次观测，称为等精度观测。测量误差系统误差---在相同的观测条件下，误差出现在符号和数值相同，或按一定的规律变化。例：误差钢尺尺长误差Dk钢尺温度误差Dt水准仪视准轴误差i经纬仪视准轴误差C……处理方法计算改正计算改正操作时抵消(前后视等距)操作时抵消(盘左盘右取平均)……测量误差偶然误差---在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值是随机的，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”。粗差---特别大的误差(错误)。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。偶然误差的特性偶然误差的特性例子：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为i=180–(i+i+i)•分析三角形内角和的误差i的规律。在某一测区，在相同的观测条件下共观测了358个三角形的全部内角，由于每个三角形内角之和的真值（180°）为已知，因此，可以上式计算每个三角形内角之和的真误差Δi，将它们分为负误差和正误差，按误差绝对值由小到大排列次序。以误差区间dΔ=3″进行误差个数k的统计，并计算其相对个数k／n（n＝358），k／n称为误差出现的频率。误差区间dΔ负误差正误差误差绝对值KK/nKK/nKK/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581.000偶然误差的特性•有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。•渐降性：误差小的出现的概率大•对称性：绝对值相等的正负误差概率相等•抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。ΔdΔ　=　/dΔkn0+6+12+18+24-6-12-18-24(Δ)yx=f″″衡量精度的指标精度---对一个量的多次观测中，其误差分布的密集或离散程度。1、中误差nnnm][][2lim2、平均误差nnn][][lim衡量精度的指标第一组观测第二组观测次序观测值lΔΔ2观测值lΔΔ21180°00ˊ03-39180°00ˊ00002180°00ˊ02-24159°59ˊ59+113179°59ˊ58+24180°00ˊ07-7494179°59ˊ56+416180°00ˊ02-245180°00ˊ01-11180°00ˊ01-116180°00ˊ0000179°59ˊ59+117180°00ˊ04-416179°59ˊ52+8648179°59ˊ57+39180°00ˊ00009179°59ˊ58+24179°59ˊ57+3910180°00ˊ03-39180°00ˊ01-11Σ||247224130中误差7.221nm6.322nm4.221n3、容许误差容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明，在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误差。容=3m有时对精度要求较严，也可采用D容=2m作为容许误差。在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应观测值应舍去重测。4、相对误差绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度，例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m，它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为相对误差。本例前者为0.2/200=1/1000，后者为0.2/100=1/500，明显前者的精度高于后者。算术平均值及中误差算术平均值xnlnlniil][1nnlXlXlX2211XnlnnnnlXn][lim0][lim][][根据偶然误差的特性算术平均值及中误差若被观测对象的真值不知，则取平均数为最或然值。iiilxllvl②改正值的特性：0ivv①定义改正值：③观测值中误差：1][112nVVnvmnii③算术平均值中误差：)1(][nnVVnmM将上列左右两式相减，得nnlXlXlX2211nnlxvlxvlxv2211)()()(2211xXvxXvxXvnn算术平均值及中误差算术平均值及中误差分别取平方222)()(2xXxXvviii　取和2)()(2][][xXnxXvvv　2)(][][xXnvv算术平均值及中误差2213121222221222][)(2][)(][)()()(][][nnnnxXnxXxXnxXnvnnn1][][][][)(][][22nvvnmnvvxXnvv　　算术平均值及中误差一、已知真值X，则真误差一、真值不知，则iilXnm][ilxivnlx][1][nvvm二、中误差二、中误差算术平均值及中误差mmnmMmmmnll413.1516.316.3232.61540;452.123][次序观测值l改正数vvv1123.457-5252123.450+243123.453-114123.449+395123.451+11平均值123.452040误差传播定律及其应用一、误差传播定律测量工作中某些未知量需要由若干独立观测值按一定的函数关系间接计算出来的。阐述观测值的中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律称为误差传播定律。测量中，有些未知量不能直接观测测定，需由直接观测量计算求出。水准仪一站观测的高差——h=a-b三角高程测量初算高差——h’=Ssinα直接观测量的误差导致它们的函数也存在误差，函数的误差由直接观测量的误差传播过来。二.一般函数的中误差令的系数为，(c)式为：ixiixFf由于和是一个很小的量，可代替上式中的和：ixidxdznnxxFxxFxxF2211(c)代入(b)得对(a)全微分：nndxxFdxxFdxxFdZ2211(b)设有函数：),,,(21nxxxFZ为独立观测值ix设有真误差，函数也产生真误差ixixZ(a))()(22)(11)()2()2(22)2(11)2()1()1(22)1(11)1(knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）jijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(e)对K个(e)式取总和：njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122由偶然误差的抵偿性知：0limnxxjin(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：前面各项KxfKxfKxfKnn22222221212即22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)考虑，代入上式，得中误差关系式：iixFf2222222121nnZmxFmxFmxFm(5-10)上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤：1.列出函数式；2.对函数式求全微分；3.套用误差传播定律，写出中误差式。1.倍数函数的中误差设有函数式(x为观测值，K为x的系数)全微分得中误差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22例：量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：l1000:1m2.0m5.168m2.0mm2002.01000100010001000SmmddlSlSlS解：列函数式求全微分中误差式三.几种常用函数的中误差2.线性函数的中误差设有函数式全微分中误差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例：设有某线性函数其中、、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6.1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：对上式全微分：由中误差式得：函数式全微分中误差式nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmm3.算术平均值的中误差式由于等精度观测时，，代入上式：得mmmmn21nmmnnmX221n由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。●对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。4.和或差函数的中误差函数式：全微分：中误差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm当等精度观测时：上式可写成：mmmmmn321nmmZ例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。解：ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总函数式函数的中误差一般函数倍数函数和差函数线性函数算术平均值),,,(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ