第二章§111椭圆及其标准方程

第二章把握热点考向理解教材新知应用创新演练§1椭圆考点一考点二知识点一知识点二考点三1.1椭圆及其标准方程§1椭圆1．1椭圆及其标准方程椭圆的定义设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点，用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？提示：相同．问题2：这种游戏设计的原理是什么？提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点间的距离．椭圆的定义定义平面内到两个定点F1，F2的(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆焦点两个F1，F2叫作椭圆的焦点焦距两焦点F1，F2间的叫作椭圆的焦距集合语言P＝{M|,2a＞|F1F2|}距离之和等于常数定点距离|MF1|＋|MF2|＝2a椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，－2)．问题1：若动点P满足|PA|＋|PB|＝6，则P点的轨迹方程是什么？提示：x29＋y25＝1.问题2：若动点P满足|PC|＋|PD|＝6，则动点P的轨迹方程是什么？提示：y29＋x25＝1.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程______________________________________焦点坐标________________a、b、c的关系_____________x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)(±c,0)(0，±c)a2－b2＝c21．平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a，当2a|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是一条线段F1F2；当2a|F1F2|时，点M的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程有两种形式，若含x2项的分母大于含y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之焦点在y轴上．椭圆的标准方程[例1]写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a＝4，c＝3，焦点在y轴上；(2)a＋b＝8，c＝4；(3)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．[思路点拨]求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定a和b的值．[精解详析](1)焦点在y轴上，设标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，则a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程为y216＋x27＝1.(2)a＋b＝8，a2－b2＝16⇒a＋b＝8，a＋ba－b＝16⇒a＋b＝8，a－b＝2⇒a＝5，b＝3.∴椭圆的标准方程为x225＋y29＝1或y225＋x29＝1.(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．依题意有32a2＋－22b2＝1，－232a2＋1b2＝1，解得a2＝15，b2＝5.所以所求椭圆的方程为x215＋y25＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．依题意有－22a2＋32b2＝1，1a2＋－232b2＝1，解得a2＝5，b2＝15.舍去，故所求椭圆的方程为x215＋y25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．依题意有3m＋4n＝1，12m＋n＝1，解得m＝115，n＝15.所以所求椭圆的方程为x215＋y25＝1.[一点通]求椭圆标准方程的一般步骤为：1．如果方程x2a2＋y2a＋6＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A．(3，＋∞)B．(－∞，－2)C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D．(－6，－2)∪(3，＋∞)解析：由于椭圆的焦点在x轴上，所以a2＞a＋6，a＋6＞0，即a＋2a－3＞0，a＞－6.解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.答案：D2．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为______________．解析：由已知，2a＝8,2c＝215，∴a＝4，c＝15，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y216＋x2＝1.答案：y216＋x2＝13．求焦点在坐标轴上，且过点A(2,0)和B1，32的椭圆的标准方程．解：法一：若焦点在x轴上，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，依题意，有4a2＝1，1a2＋34b2＝1，解得a2＝4，b2＝1.x2b2＝1(ab0)，同理a2＝1，b2＝4，这与ab矛盾．故所求椭圆方程为x24＋y2＝1.法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)．将A，B坐标代入得4m＝1，m＋34n＝1，解得m＝14，n＝1，故所求椭圆方程为x24＋y2＝1.椭圆的定义及应用[例2]如图所示，已知椭圆的方程为x24＋y23＝1，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．[思路点拨]因为∠PF1F2＝120°，|F1F2|＝2c，所以要求S△PF1F2，只要求|PF1|即可．可由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a，并结合余弦定理求解．[精解详析]由已知a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝1，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②将②代入①解得|PF1|＝65，∴S△PF1F2＝12|PF1|·|F1F2|·sin120°＝12×65×2×32＝335.因此所求△PF1F2的面积是353.[一点通]椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求面积，这时可把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝4a2－2|PF1||PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．4．平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|＋|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么()A．p是q的充分不必要条件B．p是q的必要不充分条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件解析：若|MA|＋|MB|为定值，只有定值|AB|时，点M轨迹才是椭圆．故p为q的必要不充分条件．答案：B5．已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|AF2|＋|BF2|＝12，则|AB|＝________.解析：由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|AF2|＋|BF2|)＝20，即|AB|＝8.答案：86．点P在椭圆x24＋y2＝1上，且PF1⊥PF2，求S△PF1F2.解：∵点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16，又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，∴|PF1||PF2|＝2，∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝1.[例3]已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．[思路点拨]P为AC垂直平分线上的点，则|PA|＝|PC|，而BC为圆的半径，从而4＝|PA|＋|PB|，可得点P轨迹为以A，B为焦点的椭圆．与椭圆有关的轨迹问题[精解详析]如图所示，连接AP，∵l垂直平分AC，∴|AP|＝|CP|.∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4，∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.∴点P的轨迹方程为x24＋y23＝1.[一点通]求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；(2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a，b的值，得到标准方程．7．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0，－6)，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是－23，求顶点A的轨迹方程．解：设顶点A的坐标为(x，y)，由题意得y－6x·y＋6x＝－23，化简整理，得x254＋y236＝1，又A，B，C是△ABC的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，因此y≠±6，所以顶点A的轨迹方程为x254＋y236＝1(y≠±6)．8．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆M和定圆B内切于点C，由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心M到两定点A(－3,0)，B(3,0)的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝8,2c＝6，b＝a2－c2＝7，∴M的轨迹方程是x216＋y27＝1.1．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)求解．2．解决与椭圆有关的轨迹问题时，要注意检验所得到的方程的解是否都在曲线上．3．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a求解，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．应用创新演练见课时跟踪训练(五)