第二章--杆系结构的有限元法分析

有限元单元法FiniteElementAnalysis土木工程与建筑学院:陈月顺CollegeofCivilEngineeringandArchitecture第2章杆系结构的有限元法分析2.1概述有限单元法的基本思想是从整体到局部，再回到整体，即对我们分析的整体对象，根据其结构特点，对其进行离散化，得到有限个独立的单元，然后对每个单元进行单元分析，最后根据单元分析的结果对结构物进行整体分析，求得结构物的某些参数。在所有结构中，杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常见的一类结构。如平面桁架、平面刚架、连续梁、空间刚架、空间桁架等都属于此类结构，以此类结构为基础介绍有限单元法的分析过程。首先了解一下有限单元法分析问题的基本步骤。第一步：对结构物进行离散化，划分为有限个单元12345612345弯曲杆件系统截面连续变化的杆件系统以直代曲若干微小的等截面杆单元4第二步：对各结点和单元进行编码36123456(000)(001)(234)(567)(111213)(8910)12456123456(123)(456)(789)(101112)(161718)(131415)12345单元划分示意图5第三步：建立整体坐标系和各单元的局部坐标系36123456(000)(001)(234)(567)(111213)(8910)12456123456(123)(456)(789)(101112)(161718)(131415)12345整体坐标系和各单元的局部坐标系6第四步：对已知参数进行准备和整理AlEGI对于各单元，需要准备的数据包括：单元截面积:单元长度:单元弹性模量:单元剪切模量:单元惯性矩:等。7第五步：对结点位移进行编码36123456(000)(001)(234)(567)(111213)(8910)12456123456(123)(456)(789)(101112)(161718)(131415)12345结点位移进行编码前处理法后处理法8第六步：进行单元分析形成单元刚度矩阵。通常运用虚位移原理或最小势能原理来进行单元分析建立单元刚度矩阵kⓔ和等效结点荷载矩EFⓔ。9我们进行单元分析的最终目的是要对结构进行整体分析，因此必须由单元特性矩阵构成整体特性矩阵。注意的是，如果局部坐标系与整体坐标系不一致，则需进行坐标变换，将局部坐标系下的单元特性转换为整体坐标系下的单元特性。第七步：进行整体分析，形成整体刚度矩阵10第八步：引入边界条件边界条件的引入可以使问题具有解的唯一性，否则，我们的问题就是不适定的。11第九步，求解方程组，计算结构的整体结点位移列阵，并进一步计算各单元的应力分量及主应力、主向。第十步，求单元内力，对计算成果进行整理、分析，用表格、图线示出所需的位移及应力。122.2局部坐标系中杆单元分析所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。在有限单元法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。但由于在实际工程结构中，同一构件上，上述几种受力状态往往同时存在，因此为方便起见，本书都称之为杆单元。并且，本书所讨论的杆单元均是指等截面直杆单元，对于变截面杆和弯曲杆件，我们在进行单元划分时可以将其分为若干等截面杆单元。因此本书的分析方法仍然对其适应。132.2.1拉压杆单元ijq(x)FiFjuiujxy拉压杆单元示意图14①用结点位移表示单元上任意截面的位移u()uxabxab(0)iuu()julu其中、为待定系数。ijiauuubl由位移的边界条件：()(1)ijxxuxuull用矩阵表示为：iiijjijjuuNuNuNNuNδⓔ15其中1ixNl，jxNl称为形函数；ijNNN为形函数矩阵；Tijuuδⓔ为局部坐标系下的结点位移矩阵。16②进行应力、应变分析11ijdudBBdxdxllNδδδBδⓔⓔⓔⓔ根据应变的定义，有：由虎克定律，其应力为：EEBδⓔ17③求单元刚度矩阵利用虚位移原理求单元刚度矩阵：假设杆端i、j分别产生虚位移iu、ju，则由此引起的杆轴任意截面的虚位移为：TiiuuuNNδⓔ对应的虚应变为：Bδⓔ根据虚位移原理虚功方程，有：000()lTTdllTTⓔⓔⓔⓔⓔFδNδBBδ外变外变18将上式整理得：00()TllTTTdqxdxEAdxFNδδBBδⓔⓔⓔⓔ式中：TdijFFFⓔ为局部坐标系下单元结点荷载矩阵。设：0()lTEqxdxFNⓔ等效结点荷载0lTEAdxkBBⓔ则可以得到拉压杆单元的单元刚度方程为：dEFFkδⓔⓔⓔⓔ这里kⓔ为局部坐标系下的单元刚度矩阵，EFⓔ为局部坐标系下等效结点荷载矩阵。根据定义，可以进一步求得单元刚度矩阵为：1111EAlkⓔ192.2.2扭转杆单元Mjijm(x)Miijxy扭转杆单元示意图20设扭转杆单元的长度为l，截面惯性矩为I，剪切模量为G，杆端扭矩分别为iM、jM，杆端扭转角分别为i、j，单元上的分布荷载集度为()mx，则任意截面的扭转角为：(1)ijxxllNδⓔ式中：Tijⓔ为局部坐标系下扭转杆单元的结点位移矩阵。由材料力学可知，截面扭矩为：dMGIGIdxBδⓔ式中：11ddxllNB21我们利用极小势能原理来进行单元分析，杆单元的势能用泛函表示为：00001()()21(())2llTTpdllTTTddMdxmxdxdxGIdxmxdxFδδBBδNFδⓔⓔⓔⓔⓔⓔ这里：TdijMMFⓔ为局部坐标系下扭转杆单元的结点荷载矩阵。由极小势能原理，取上述泛函的变分0p，可得：00()llTTTdGIdxmxdxδBBNFⓔⓔ22或者写为：00()()llTTdGIdxmxdxBBδNFⓔⓔ设：0lTGIdxkBBⓔ0()lTEmxdxFNⓔ可得扭转杆单元的单元刚度方程为：dEFFkδⓔⓔⓔⓔ可以看到，其形式与拉压杆单元的单元刚度方程完全一致。同样，可以进一步求得其局部坐标系下得单元刚度矩阵为：1111GIlkⓔ232.2.3只计弯曲的杆单元ijq(x)MiMjijxyFyjFyim(x)vivj只计弯曲的杆单元示意图TiijjvvδⓔTdyiiyjjFMFMFⓔ24取挠曲线方程为x的三次多项式，即单元上任意一点的挠度为：23vabxcxdx根据单元的位移边界条件：0x时：ivv，idvdxxl时：jvv，jdvdx可以得到式（2-18）中的待定系数：222323212312121ijiijjiijjavbvcvvlllldvvllll25将挠曲线方程用矩阵形式表示为：2322323210000100323112121iijjvvxxxvllllllllNδⓔ式中：1234NNNNN为形函数矩阵，其中：231232222332323423212(1)32xxNllxxNxllxxNllxxNll平面弯曲单元的形函数26根据式单元的位移场，可得单元上某一点得曲率为：2222dvddxdxNδBδⓔⓔ截面的弯矩为：TTMEIEIEIBδδBⓔⓔ这里：22ddxNB为平面弯曲杆单元的应变矩阵。27根据虚位移原理。有：000()()lllTTTddWqxdxmxdxWEIdxdxNNFδδBBδ外变ⓔⓔⓔⓔ记：00()()llEdqxdxmxdxdxNFNⓔ等效结点荷载0lTEIdxkBBⓔ则平面弯曲杆单元的单元刚度方程为：dEFFkδⓔⓔⓔⓔ28其中的单元刚度矩阵求得为：2232212612664621261266264llllllEIlllllllkⓔ292.2.4平面一般杆件单元ijuiujxyvivjFxiFyiFyjMiMjijFxj一般杆单元示意图TiiijjjuvuvδⓔTxiyiixjyjjFFMFFMFⓔ30xiijEAEAFuullxjijEAEAFuull3232126126yiiijjEIEIEIEIFvvllll3232126126yjiijjEIEIEIEIFvvllll226462iiijjEIEIEIEIMvvllll226264jiijjEIEIEIEIMvvllllijuiujxyvivjFxiFyiFyjMiMjijFxj31323222323222000012612600646200000012612600626400ixiiyiiijxjjyjjjEAEAllEIEIEIEIuFllllvFEIEIEIEIMlllluFEAEAllvFEIEIEIEIMllllEIEIEIEIllllFkδⓔⓔⓔ322.2.5空间杆件单元空间杆单元示意图TiiixiyizijjjxjyjzjuvwuvwδⓔTxiyizixiyizixjyjzjxjyjzjFFFMMMFFFMMMFⓔ33323232320000000000000000000000000000000000000126126126126zzzzxiyiyyyyzixiyizixjyjzjxjyjzjEAEAllEIEIEIEIFllllFEIEIEIEIllllFGIGIllMMMFFFMMM222232323232220000000000000000000000000000000000000000000000000000000000006462646212612612612662646yyyyzzzzzzzzyyyyyyyyEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllGIGIllEIEIEIEIllll220000000264iiixiyizijjjxjyjzjzzzzuvwuvwEIEIEIEIllll342.2.6单元刚度矩阵的性质从前面的分析可以看出，单元刚度矩阵具有如下的性质：①单元刚度矩阵kⓔ为对称矩阵，其元素()ijjikkij。②单元刚度矩阵kⓔ中的每个元素代表单位杆端位移引起的杆端力。其中的任意元素ijk的物理意义是第j个杆端位移分量等于1（其余位移分量等于0）时，所引起的第i个杆端力的分量值。35③一般单元的单元刚度矩阵kⓔ是奇异矩阵，它的元素组成的行列式等于零，即0kⓔ。根据奇异矩阵的性质，kⓔ没有逆矩阵。也就是说，如果给定杆端位移δⓔ，可以求出杆端力Fⓔ的惟一解，但反过来，如果已知杆端力Fⓔ，则不能根