三角恒等变换知识总结

1三角恒等变换知识点总结2014/10/24一、基本内容串讲1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan对其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。2．二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin2sincos.2222cos2cossin2cos112sin.22tantan21tan.要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形，22cos1sin,22cos1cos22这两个形式常用。3.辅助角公式：sincos2sin4xxx;3sincos2sin6xxx22sincossinaxbxabx.4.简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。5.常用知识点：（1）基本恒等式：22sinsincos1,tancos（注意变形使用，尤其‘1’的灵活应用，求函数值时注意角的范围）；（2）三角形中的角：ABC，sinAsin(B),cosAcos(BC)C；（3）向量的数量积：cos,ababab，1212abxxyy，12120abxxyy1221//0abxyxy；二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin20cos40cos20sin40的值等于（）22、若tan3，4tan3，则tan()等于（）3、若3,4则(1tan)(1tan)的值是________．4、(1tan1)(1tan2)(1tan3)(1tan44)(1tan45)_______________.考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式5、cos5cos52的值等于（）(提示:构造分子分母)6、cos20cos40cos60cos80（）7、已知322A，且3cos5A，那么sin2A等于（）考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换8、已知,41)4tan(,52)tan(则)4tan(的值等于（）9、已知,31coscos,21sinsin则)cos(值等于（）10、函数22()cos()sin()11212fxxx是（）（A）周期为2的奇函数（B）周期为2的偶函数（C）周期为的奇函数（D）周期为的偶函数4、常见题型及解题技巧（另外总结）（一）关于辅助角公式：22sincossinaxbxabx.其中2222cos,sinababab（可以通过22ab来判断最大最小值）如：1.若方程sin3cosxxc有实数解，则c的取值范围是____________.2.2cos3sin2yxx的最大值与最小值之和为_____________.7．若2tan(),45则tan________.（二）三角函数式的化简与求值[例1]1.0000cos15sin15cos15sin15；2.00sin50(13tan10);3.求tan70tan503tan70tan50值;4.△ABC不是直角三角形，求证：CBACBAtantantantantantan（三）三角函数给值求值问题31.已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值是_____________;2.已知54cos(),cos,,135均为锐角，求sin的值。3.33350,cos,sin4445413，求sin的值．（四）三角函数给值求角问题1.若sinA=55,sinB=1010,且A,B均为钝角,求A+B的值.2.已知,(,)22，且tan,tan是方程23340xx的两个根，求．3.已知，，均为锐角，且1tan2，1tan5，1tan8，则+的值（）Ａ．π6Ｂ．π4Ｃ．π3Ｄ．5π44.已知1tan7,1tan3,并且,均为锐角，求2的值.（五）综合问题（求周期，最值，对称轴，增减区间等）1.(2010·北京)已知函数2()2cos2sinfxxx.(1)求()3f的值；(2)求()fx的最大值和最小值．2.已知函数()2sin()cosfxxx.(1)求()fx的最小正周期；(2)求()fx在区间[,]62上的最大值和最小值；（3）求函数在(,)的单调区间。三、解题方法分析1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。例1设2132tan13sin50cos6sin6,,,221tan132cos25abc则有（）【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：sincos=2sin21，cos=2sinsin2，2cossincos22，2tantan-12tan2，2)cos(sincossin21，2cos22cos1，2sin22cos1，422cos1sin,22cos1cos22，tanα＋tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)等。另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为)xsin(ba22即asinx+bcosx=)xsin(ba22（其中tanba）是常用转化手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±3cosx，要熟练掌握其变形结论。2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例2．已知2π＜β＜α＜4π3，cos（α－β）=1312，sin（α+β）=－53，求sin2α的值．（－6556（本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点，2α=（α－β）+（α+β））例2解答：例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）］·2sin80．【解析】：原式==3．【点评】：本题属于“理解”层次,解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换5【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。例4：已知sin（α+β）=32，sin（α－β）=43，求2tan()tantantantan()的值．。【解析】2tan()tantantantan()=2tan()tan()(1tantan)tantan()=tantan=－17【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。（3）运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。例5：若,22sinsin求coscos的取值范围。【解析】：令coscost，则2221(sinsin)(coscos),2t【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子coscos看作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取值范围。3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。例6：已知：向量(3,1)a，(sin2,bxcos2)x，函数()fxab（1）若()0fx且0x，求x的值；12x或712（2）求函数()fx取得最大值时，向量a与b的夹角．【解析】：∵()fxab＝3sin2cos2xx（2）2sin(2)6x∴max()2fx，当()2fx时，由||||cos,2ababab6得cos,1||||ababab，0,ab∴,0ab【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识的分析和计算能力.四、课堂练习1．sin165º=（）A．21B．23C．426D．4262．sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（）A．23B．21C．23D．213．已知(,0)2x，4cos5x，则x2tan（）A．247B．247C．724D．7244．化简2sin（4π－x）·sin（4π+x），其结果是（）Ａ．sin2xＢ．cos2xＣ．－cos2xＤ．－sin2x5．sin12—3cos12的值是（）A．0B．—2C．2D．2sin1256．)(75tan75tan12的值为A．32B．332C．32D．3327．若3cos25，4sin25，则角的终边一定落在直线（）上。A．7240xyB．7240xyC．2470xyD．2470xy8．._________sinsincoscos9．15tan115tan1＝10．tan20tan403tan20tan40的值是.11．求证：2cos1sin24cottan22．12．已知1tan23，求tan的值．713．已知,135)4sin(,40xx求)4cos(2cosxx的值。14．若,0A,且137cossinAA,求AAAAcos7sin15cos4sin5的值。15．在△ABC中，若sinAsinB=cos22C，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形16．化简2cos2sin12cos2sin1．17.求证：tan1tan1sincoscossin2122a．18．已知sinα=1312，sin（α+β）=54，α与β均为锐角，求cos．.