第二十一章二重积分习题课

第二十一章二重积分习题课一、关于积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的二重积分：1．,fxy在D上连续，D关于y轴（或x轴）对称，则（1）,fxy是D上关于x（或y）的奇函数，有,0;Dfxydxdy（2）,fxy是D上关于x（或y）的偶函数，有1,2,,DDfxydxdyfxydxdy其中12DDD且1D与2D关于y轴（或x轴）对称。2．D关于x轴，y轴均对称，1D为D中对应于0,0xy的部分，则14,,,,,,.0,,,,DDfxydfxyfxyfxyfxydfxyfxyfxy或3．D关于直线yx对称，则12,,,,,,0,,,DDfxydfyxfxyfxydfyxfxy其中1,,,.DxyxyDyx例1．设D是xoy平面上以点1,1,1,1,1,1ABC为顶点的三角形区域，1D是D在第一象限的部分，则cossinDxyxyd等于(A)12cossinDxydxdy(B)12Dxydxdy(C)14cossinDxyxydxdy(D)0二、关于三重积分的情形：1．关于xoy平面对称，而1是对应于0z的部分，则12,,,,,,,,,,,,.0,,,,,,,,fxyzdVfxyzfxyzxyzfxyzdVfxyzfxyzxyz2．关于xoy平面和xoz平面均对称（即关于x轴对称），而1是对应于0,0zy的部分，则14,,,,,,,,,0,,,fxyzdVfxyzyzfxyzdVfxyzyz关于为偶函数关于或为奇函数。3．关于3个坐标面对称，而1是的第一卦限部分，则18,,,,,,,,,,0,,,fxyzdVfxyzxyzfxyzdVfxyzxyz关于均为偶函数关于或或为奇函数。例2．计算xzdV，其中是由曲面22zxy与221zxy所围成的区域。三、关于重积分的交换积分次序例3．设D是由曲线1xy与直线1,2,2xxy所围成的区域。计算2211.xyxIdxyedy例4．求极限：2220204lim.1xttuxxxdteduIe四、被积函数分区域给出例5．计算22max,xyDIedxdy，其中,01,01.Dxyxy五、关于重积分的证明题例6．设fx是,ab上的正值连续函数，证明2Dfxdxdybafy其中:,.Daxbayb例7．设,fxy在点0,0的邻域内连续，证明：222201lim,0,0.xyfxydxdyf例8．设函数fx在0,a上连续，证明00,0.axyaxyfxydxdyxfxdx作业：1．计算DIxydxdy，其中222:.DxyR2．计算21sinDIxyxdxdy，其中D是圆周221xy以外，矩形:A12x，11y以内的平面图形。3．设函数fx在0,a上连续，222,xytFtfxydxdy，求0lim.tFtt