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1第二节两直线的位置关系一、两条直线的位置关系斜截式一般式方程y=k1x+b1y=k2x+b2A1x+B1y+C1=0(A21+B21≠0)A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0当A2B2≠0时,记为A1A2≠B1B2垂直k1=-1k2或k1k2=-1A1A2+B1B2=0当B1B2≠0时,记为A1B1·A2B2=-1平行k1=k2且b1≠b2{A1B2-A2B1=0,B2C1-B1C2≠0或{A1B2-A2B1=0,A1C2-A2C1≠0当A2B2C2≠0时,记为A1A2=B1B2≠C1C2重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)当A2B2C2≠0时,记为A1A2=B1B2=C1C2二、两条直线的交点设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,两条直线的交点坐标就是方程组{A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解,若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;反之,亦成立.三、几种距离1.两点间的距离平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式:d(A,B)=|AB|=x1-x22+y1-y22.2.点到直线的距离点P(x1,y1)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=|Ax1+By1+C|A2+B2.3.两条平行线间的距离两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=|C1-C2|A2+B2.[小题能否全取]1.已知l1的倾斜角为45°,l2经过点P(-2,-1),Q(3,m).若l1⊥l2,则实数m为()A.6B.-6C.5D.-52.点(0,-1)到直线x+2y=3的距离为()A.55B.5C.5D.153.点(a,b)关于直线x+y+1=0的对称点是()2A.(-a-1,-b-1)B.(-b-1,-a-1)C.(-a,-b)D.(-b,-a)4.l1:x-y=0与l2:2x-3y+1=0的交点在直线mx+3y+5=0上,则m的值为()A.3B.5C.-5D.-85.与直线4x+3y-5=0平行,并且到它的距离等于3的直线方程是______________________.1.B2.B3.B4.D5.答案:4x+3y+10=0或4x+3y-20=0小结1.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在,两条直线都有斜率时,可根据斜率的关系作出判断,无斜率时,要单独考虑.2.在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时,直线方程必须先化为Ax+By+C=0的形式,否则会出错.两直线的平行与垂直典题导入[例1]设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案]A由题悟法1.充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2,l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1·k2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.2.(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2=-1.(2)设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.以题试法1.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对的边,则直线xsinA+ay+c=0与bx-ysinB+sinC=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直解析:选C两直线的交点与距离问题典题导入[例2]定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=________.[答案]94由题悟法31.点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求.注意直线方程为一般式.2.点到与坐标轴垂直的直线的距离,可用距离公式求解.也可用如下方法去求解:(1)点P(x0,y0)到与y轴垂直的直线y=a的距离d=|y0-a|.(2)点P(x0,y0)到与x轴垂直的直线x=b的距离d=|x0-b|.以题试法2.若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为21313,则c的值是________.答案:2或-6对称问题典题导入[例3]在直角坐标系中,A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后,再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是()A.210B.6C.33D.25[答案]A由题悟法对称问题主要包括中心对称和轴对称(1)中心对称①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足{x′=2a-x,y′=2b-y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点A′(m,n),则有n-bm-a×-AB=-1,A·a+m2+B·b+n2+C=0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.以题试法3.与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为()A.3x+4y+5=0B.3x+4y-5=0C.-3x+4y-5=0D.-3x+4y+5=0解析:选A拓展[典例]求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.45x+3y-1=0.——————[高手支招]———————————————————————————运用直线系方程,有时会给解题带来方便,常见的直线系方程有:(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C);(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R);(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.——————————————————————————————————————[巧思妙解]由于l过l1,l2的交点,故可设l的方程为3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0将其整理,得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0,其斜率-3+5λ2+2λ=-53,得λ=15.代入直线系方程得l方程5x+3y-1=0.针对训练求与直线2x+6y-11=0平行,且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程.即为x+3y+6=0或x+3y-6=0.
本文标题:第二节两直线的位置关系
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