第3章微分中值定理及其应用1(详解)

第3章微分中值定理及其应用(作业1)一选择题1、使函数3221xxxf适合罗尔定理条件的区间是（A）A、10,；B、11,；C、22,；D、5453,；3、xf在b,a上连续，在b,a内可导，则（1）;bfaf与（2）在b,a内至少有一点，使得0f，之间的关系是（B）A、（1）是（2）的必要但非充分条件；B、（1）是（2）的充分但非必要条件；C、（1）是（2）的充分必要条件；D、（1）不是（2）的充分条件；也不是（2）的必要条件。二、填空题1、设4321xxxxxf，则方程0xf，有3个实根，且其根所在的区间为(1,2),(2,3),(3,4)。3、方程023xx有1个正根。三.计算与证明题2.证明当0x时，xxxx1ln)1ln(11。证：设,lnttf则（1）tf在1,xx上连续0x；（2）tfttf,1'在1,xx内可导0x，由拉格郎日定理可知，在1,xx内至少存在一点，使得,11'xxxfxff即.ln1ln1xx由于10xx，因此，1111xx，所以xxxx1ln1ln113.若方程01110xaxaxannn有一个正根0xx，验证方程0)1(12110nnnaxnanxa必有一个小于0x的正根。证明：设01110,0xxxaxaxaxFnnn由于xF在0,0x上连续，在0,0x内可导，且,000xFF根据罗尔定理，0,0x使得0'F即0112110nnnanana.显然就是方程0112110nnnaxnanxa的一个小于0x的正根。4.若函数)(xf在区间（a，b）内具有二阶导数，且)()()(321xfxfxf，其中bxxxa321，证明：在（x1，x3）内至少有一点，使得0)(f。证明：由于xf在[21,xx]上连续，在（x1，x2）内可导，且21xfxf，根据罗尔中值定理可知，),(211xx使01'f，同理322,xx使02'f。又函数xf'在[21,]上连续，在（21,）内可导且02'1'ff，根据罗尔定理：21,使,0''xxf即0''f5.如果021xx，试证)()1(212112xxeexexxx，其中在21,xx之间。分析1：将)()1(212112xxeexexxx两边同时除以21xx得：)11()1(121212xxexexexx；继续变形得：exxxexexx)1()11(121212，于是左边刚好与柯西中值定理的形式相同，所以可以考虑用柯西中值定理去解。证法1：设xxgxexfx1,)(；应用柯西中值定理可知：''1212gfxgxgxfxf即11)1()11(22''121212eeeeeexxxexexx第3章微分中值定理及其应用(作业2)一、填空题1、xxlnlimx的值等于0。02、xelimxx3120的值等于32。4、xnxxxlim的值等于0。05、xxlnlimx613的值等于0。二、选择题1、xsinxsinxlimx120的值等于（B）。A、1；B、0；C、∞；D、不存在，但不是∞。2、xcosxcoslimx352的值等于（A）。A、35；B、1；C、1；D、35。3、xxsinxlimx的值等于（B）A、0；B、1；C、2；D、不存在。三、计算与证明题1、.求xxx2sinarctan2lim解：xxx2sinarctan2lim（00型）2222cos11limxxxxxxxxx2cos1lim12lim22212、求xxxln)arctan2(lim解：xxxln)arctan2(lim（0型）1lnarctan2limxxx（00型）xxxx1ln12lim22221ln2limxxxxxxxx2ln4ln2lim224ln4limxxxxxxxxx2limln2limxx2lim=03、求)ex(limxx11120解：)111(lim20xxex0011lim220xxxexxexxxxxeee22202112lim5、.求210)sin(limxxxx解：1)sin(lim210xxxx=2sinln0limxxxxe=2sinlnlimxxxoxe；其中2sinlnlimxxxox=20sincos2sinlimxxxxxxxx=302sincoslimxxxxx=206cossincoslimxxxxxx=61故61102)sin(limexxxx6、求xxxsin0)(tanlim解：0sin00)(tanlimxxxxxxetanlnsin0limxxxetanlnsinlim0其中xxxtanlnsinlim0xxxcsctanlnlim0xxxxxcotcscsectan1lim20xxx20cossinlim=0故1tanlim0sin0exxx7、求xexx10lim解：设,1tx则xexx10lim=txtelim=txetlim=txe1lim=08.讨论函数00)1()(2111xexexxfxx在点0x处的连续性。解：,021ef212100limlimeexfxx当0x时，21lnln1ln11lnxxxexxxxfxxxxxxfxxx2111lim1lnlimlnlim02002111lim211lim2100xxxxxx210limexfx；于是21000limlimefxfxfxx。故xf在0x处连续。第3章微分中值定理及其应用(作业3)一、填空题：1、函数2332xxxf的6阶麦克劳林公式的余项xR60。2、函数10a,aaxfx的n次麦克劳林多项式xpnnnx!nalnx!alnxaln2221。3、函数mxxf1在0x处的n次泰勒多项式xpnnxnnmmmxmmmx!11!2112二.计算与证明题2..当10x时，求函数xxf1)(的n阶泰勒公式。解：2'1,1xxfxxxf13''!1,,21kkkxkxfxxf!21,11,11'''fff，!1,,!31'''nffn121111!1!111!1nnnnnnxnnxnfxR,11121nnnx（在1和x之间）2'''1!211111xfxffxxfxRxnfnnn1!11212111111nnnnxxxx3.求函数xxexf)(的n阶麦克劳林公式。解:xexfxexfxexfxxx21)('''，xkexfxk,，xxexf)(nnxfnxfxff0!10!2100)(2'''1)1(!11nnxfn121!11!1!2210nnxnenxnnxx1321!11!21nxnenxxx；可表示为x10第3章微分中值定理及其应用(作业4)一.选择题1.设在[0,1]上,0)(xf则)0()1(),1(),0(ffff或)1()0(ff几个数的大小顺序为（B）A.)0()1()0()1(ffffB.)0()0()1()1(ffffC.)0()1()0()1(ffffD.)0()1()0()1(ffff2.设函数)(),(xgxf在],[ba上连续可导，0)()(xgxf，且)()()()(xgxfxgxf，则当bxa时有（C）A、)()()()(agafxgxf；B、)()()()(bgbfxgxf；C、)()()()(agafxgxf；D、)()()()(bfbgxfxg；.三计算与证明题1.利用单调性证明不等式当20x时,xxx2tansin