第三章整式及其加减

第三章整式及其加减【要点梳理】要点一、字母表示数用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba要点二、代数式1.代数式的定义：诸如：16n，2a+3b，34，2n，2)(ba等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.要点诠释：带等号或不等号的式子不是代数式，如33x，33x，33x等都不是代数式.2.列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“·”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写.3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.要点三、整式1.单项式（1）单项式的定义：如22xy，13mn，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如5m就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．要点诠释：①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数．②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数．③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：2114xy写成254xy．（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏．2．多项式(1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．要点诠释：①多项式的每一项包括它前面的符号．②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：2627xx是一个三项式．(3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．要点诠释：①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．（4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．如:多项式2x3y2-xy3+21x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为-5x4+2x3y2+21x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+21x2y4．要点诠释：①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．3.整式：单项式与多项式统称为整式．要点诠释：（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．【典型例题】类型一、字母表示数1．填空：(1)某商场将一种商品A按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A的标价为a元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．(2)有a名男生和b名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生每人搬了30块．这a名男生和b名女生一共搬了块砖（用含a．b的代数式表示）．【思路点拨】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.【答案】(1)90%10%1a；(2)（40a+30b）【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等问题，打几折就是标价的十分之几．【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：(1)利润＝售价－进价;(2)利润率＝-售价进价进价．举一反三：【变式】为庆祝战胜利70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为a元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的销售价为（）A．a﹣10%B．a•10%C．a（1﹣10%）D．a（1+10%）【答案】C．类型二、代数式2．为了节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过140度，按每度0.43元收费；如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费．（1）若某用户10月份用去a度电，则他应缴多少电费？（2）若该用户11月份用了150度电，则该缴多少电费？【思路点拨】当a﹥140，应付费用分为两部分，一部分为0.43×140元，另一部分为0.57×（a-140）元.【答案与解析】解：（1）当a≤140时，电费为0.43a元；当a＞140时，电费为：0.431400.57(140)(0.5719.6)aa元.（2）因为用电量为150度，大于140度，因此把a＝150代入代数式0.5719.6a，得0.5715019.665.9（元）.因此，该缴电费65.9元.【总结升华】根据a的不同取值，分别对应不同的代数式．举一反三：【变式1】一个堤坝的截面是等腰梯形，最上面一层铺石块a块，往下每层多铺一块，最下面一层铺了b块，共铺了n层，共铺石块块？当a＝20，b＝40，n＝17时，堤坝的这个截面铺石块块？【答案】12（a＋b）n，510块.【变式2】代数式12（a＋b）n的意义.【答案】答案不唯一，举一例：设某两数为ab、，则()abn12表示“这两个数平均数的n倍.类型三、整式3．整式中是单项式的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C．【解析】解：整式中，单项式有：﹣0.3x2y，0，，﹣2a2b3c，共4个．【总结升华】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，即可得出答案．举一反三：【变式】下列代数式：322332111;;;;2;-232axyabxxyxyyx①②③④⑤⑥，其中单项式是_______________，多项式是_______________.【答案】①②③，④⑥4．已知多项式32312246753mxxyxyyxy．(1)求多项式各项的系数和次数．(2)如果多项式是七次五项式，求m的值．【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项26xy的系数是-6，次数是3；第二项3127mxy的系数是-7，次数是3m+1；第三项343xy的系数是43，次数是4；第四项2xy系数是-l，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．(2)由多项式是七次五项式，可得3127mxy的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2．【总结升华】对于单项式3127mxy的次数为3m+1，可能不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．举一反三：【变式】多项式34baxxxb是关于x的二次三项式，求a与b的差的相反数．【答案】40422422.aabbab解：由题意得5．已知：x2﹣5x=6，请你求出代数式10x﹣2x2+5的值．【思路点拨】先把10x﹣2x2+5变形为﹣2（x2﹣5x）+5，然后把x2﹣5x=6整体代入进行计算即可．【答案与解析】解：10x﹣2x2+5=﹣2（x2﹣5x）+5，∵x2﹣5x=6，∴原式=﹣2×6+5=﹣12+5=﹣7．【总结升华】本题考查了代数式求值：先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代入进行求值．【巩固练习】1.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.（1）5y是单项式；（）（2）5y＋1是单项式；（）（3）13是单项式；（）（4）单项式ab的系数是0；（）（5）单项式2ab3的系数是2；（）（6）单项式xy2次数是2；（）（7）单项式4xy2是三次单项式.（）2.填空：青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段.列车在冻土地段行驶速度是每小时100千米，它2小时行驶的路程是千米，3小时行驶的路程是千米，t小时行驶的路程是千米.3.用单项式填空：（1）底边长为a，高为h的三角形的面积是；（2）一辆汽车从拉萨出发，3小时后到达相距s千米的尼木县城，这辆长途汽车的平均速度是；（3）一台电视机原价a元，现按原价的9折（9折就是90%）出售，这台电视机现在的售价为元.4.填空：（1）多项式x2＋3x＋4是单项式______，_______，_______的和，它的项是______，______，______，常数项是________；（2）多项式－x2－3＋x是单项式______，_______，_______的和，它的项是______，______，______，常数项是________；（3）多项式m2－1是单项式______，_______，_______的和，它的项是______，______，______，常数项是________；（4）多项式2x＋3y2－3xy2是单项式______，_______，_______的和，它的项是______，______，______.5.填空：（1）多项式3＋2x2－4x次数最高项是____，次数最高项的次数是______，这个多项式的次数是______；（2）多项式m3－1次数最高项是____，次数最高项的次数是______，这个多项式的次数是______；（3）多项式2x－3xy2＋1次数最高项是____，次数最高项的次数是______，这个多项式的次数是______；（4）多项式3x4－2x2y2次数最高项是____，次数最高项的次数是______，这个多项式的次数是______.1.填空（1）单项式3x的系数是_______，次数是______，是_______次单项式；（2）单项式πr2的系数是_______，次数是______，是_______次单项式；（3）单项式－x2y的系数是_______，次数是______，是_______次单项式；（4）单项式22ab2的系数是_______，次数是______，是_______次单项式.2.填空：（1）多项式―x2―3x＋4的项是________________，最高次项是______，常数项是______，次数是________；（2）多项式3－m2的项是___________，最高次项是＿＿＿＿，常数项是＿＿＿，次数是＿＿＿；（3）多项式a3＋a2b＋ab2的项是__________________，最高次项是＿＿＿＿＿＿，次数是＿＿＿.3.判断正误：对的画√，错的画×.（1）多项式3a－5的项是3a，5；（）（2）多项式x3＋x2y2的次数3次；（）（3）几个多项式的和仍是多项式；（）（4）单项式和多项式统称整式.（）4.用多项式填空：（1）温度由－3度下降t度后是＿＿＿度；（2）温度由－3度上升t度后是＿＿＿度；（3）一个数比x的2倍小3，则这个数为＿＿＿＿＿＿；（4）a与b两数平方的和为＿＿＿＿＿＿；（5）如图，三角尺的面积为＿＿＿＿＿＿.5.用整式填空：（1）体重由x千克增加2千克后是_____千克；（2）1千克大米售价1.2元，x千克大米售价＿＿＿＿＿元；（3）a，b分别表示长方形的长与宽，则长方形的周长为＿＿＿＿＿；（4）a，b分别表示梯形的上底和下底，h表示梯形的高，则梯形的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（5）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y