第9章半群和群9.3-9.4

第9章半群和群semigroupandgroup§9.3乘积半群和商半群ProductsandQuotiensSemigroup定理1.设（S，*）和（T，*’）是两个半群，则（S×T，*”）也是半群。(s1,t1)*”(s2,t2)=(s1*s2,t1*’t2).设（S，*）和（T，*’）是两个独异点，则（S×T，*”）也是独异点，恒等元是（e，e’）。同余关系congruencerelation设（S，*）是半群，R是S上等价关系。R称为S上同余关系：aRa’,bRb’(a*b)R(a’*b’).例1.Z上剩余关系是(Z,＋)上同余关系：ab（mod2）2|a－b。证明.ab（mod2）是等价关系。ab（mod2）,2|a-b,a-b=2k.cd（mod2）,2|c-d,c-d=2t.(a+c)－(b+d)=(a-b)+(c-d)=2(k+t)a+cb+d（mod2）ab（mod2）是(Z,＋)上同余关系。Z上剩余关系是(Z,×)上同余关系.例2．令A＝{0,1},自由半群（A*,）上关系R：αRβα，β含有同样多个1。则R是（A*,）上同余关系。例3．设f(x)=x2-x-2,令（Z，＋）上关系R：aRbf(a)=f(b).R是Z上等价关系，但不是同余关系。－1R2，f(－1)=f(2)=0－2R3，f(-2)=f(3)=4-1+-2=-3,2+3=5f(-3)=10,f(5)=18-1+-2与2＋3不满足R。定理2.设R是半群（S，*）上同余关系。定义商集S/R上二元运算*：[a]*[b]=[a*b]。则（S/R,*）是半群。证明.设[a]=[a’],[b]=[b’],要证[a*b]=[a’*b’]aRa’,bRb’,由R是同余关系a*bRa’*b’,因此[a*b]=[a’*b’]，*是映射，二元运算。还要证*满足结合律：[a]*([b]*[c])=[a]*[b*c]=[a*(b*c)]=[(a*b)*c]=[a*b]*[c]=([a]*[b])*[c]因此（S/R,*）是半群。称S/R为商半群。推论1.设R是独异点（S，*）上同余关系，则（S/R,*）是独异点。证明.恒等元e∈S,只要证明[e]是S/R,的恒等元。任何a∈S，[a]*[e]=[a*e]=[a][e]*[a]=[e*a]=[a].例5．（Zn,+）,(Zn，×)都是半群，独异点。Zn＝{[0],[1],[2],……,[n-1]}[m]+[n]=[m+n]定理3.令R是半群（S，*）上同余关系,（S/R,*）是商半群。f：S→S/R,f(a)=[a],则f是满同态，称f为自然同态。定理4.同态基本定理设f:（S，*）→（T，*’）是两个半群间的同态映射，令R是S上二元关系：a,b∈S，aRbf(a)=f(b).则(a)R是（S，*）上同余关系。(b)(T，*’)(S/R,*).HomeworkP337-3384,10,14,16,22,24§9.4群Group群的定义群（G，*）是一个代数系统，1)二元运算*满足结合律,2）有单位元e，a*e=e*a=a,3)对每个a∈G，存在a’∈G，a*a’=a’*a=e,称a’为a的逆元。群（G，*）是一个有单位元的独异点，对每个a∈G，存在逆元a’∈G，使a*a’=a’*a=e.群（G，*）常简记为G，a*b常简记为ab。可换群叫Abel群AbelianGroup群的例（Z，＋），（Q，＋），（Q，×），（R，＋），（R，×），（Zn，＋），（P(S),∪），（P(S),∩），（Mn，＋），（F(x),+）,S上全体一一对应，对于复合，最后一个不是Abel群。例（R，*）：a*b=ab/2是Abel群。*满足结合律，交换律，2是单位元，4/a是a的逆元。定理1.群的逆元唯一：设G是群，任意a∈G，a只有一个逆元，记做a-1。证明.设a’，a”都是a的逆，a’=a’aa”=a”.定理2.群有消去律：设G是群，a,b,c∈G,则（a）ab＝acb＝c，（b）ba＝cab＝c。定理3.逆律设G是群，a,b∈G,则(a)(a-1)-1=a,(b)(ab)-1=b-1a-1.（c）a-n＝(a-1)n定理4.方程有唯一解设G是群，a,b∈G,则(a)方程ax＝b在G中有唯一解。(b)方程ya＝b在G中有唯一解。定理4’.定理4的逆：半群（A,*）方程ax＝b，ya＝b有唯一解，则（A,*）是群。证明.（1）A有单位元（1’）A有右单位元：取a∈A，ax＝a有解为e’，ae’=a。证e’是右单位元。对任意b∈A，be’=b:任意b∈A，xa＝b，有界c，ca＝b，be’=cae’=ca=b.（1”）A有左单位元同理xa＝a的解为e”，e”是左单位元，任b∈A，e”b=b。左右单位元相等e”=e”e’=e’,记为e，任意b∈A，be＝eb＝b，e是单位元。（2）任意a∈A，a有逆元：（2’）任意a∈A，a有右逆元：a’,aa’=e.（2”）任意a∈A，a有左逆元：a”,a”a=a.a”=a’,记为a*，aa*=a*a=e.a*是a的逆元。a∈G，a的阶：使ak＝e的最小的k。如无这样的k，称a为无限阶。a无限阶，任意n∈Z，an≠e.|G|有限时称G为有限群。群G的阶:|G|.一阶群G={e},二阶群G＝{e,a}eaeeaaae三阶群G＝{e,a,b}eabeeabaabebbea四阶群G＝{e,a,b,c}*eabceeabcaabcebbceacceab例Klein四元群G={e,a,b,c}*eabceeabcaaecbbbceaccbaeKlein四元群是Abel群。例置换群，对称群SymetricGroupA＝{1,2,3},A的所有置换对复合运算构成群：1123123f2123231f3123312f1123132g2123321g2123213gS3={f1,f2,f3,g1,g2,g3}称(S3,*)为对称群，Groupofsymeriesofatriangle。S3的乘法表：f1f2f3g1g2g3f1f1f2f3g1g2g3f2f2f3f1g3g1g2f3f3f1f2g2g3g1g1g1g2g3f1f2f3g2g2g3g1f3f1f2g3g3g1g2f2f3f1S4四元对称群，是四个元素的置换组成的对称群，共有4！＝24个置换。不是四边形的所有对称。Snn元对称群，是n个元素的置换组成的对称群，有n！个元素。An是Sn中所有偶置换组成的n元交代群,有n！/2个元素。A3＝{f1,f2,f3}.剩余类群（Zn，＋），Zn＝{[0],[1],……,[n-1]},简记为{0,1,……,n-1}.a∈Zn，a-1＝n－a.循环群cyclegroup存在a∈G，任意x∈G，x＝ak，k∈Z。a的阶是n，G＝{e,a,a2,……,an-1}ak的逆是an-k。a无限阶，G＝{……,a-2,a-1,e,a,a2,……}Z是无限循环群，Zn是n阶循环群。有限群G是循环群当且仅当存在a∈G，a的阶＝|G|.Klein四元群不是循环群。子群subgroupHG，H对于G的运算*构成群。H是G的子群当且仅当（1）e∈H（2）a，b∈Hab∈H（3）a∈Ha-1∈HH是G的子群当且仅当a，b∈Hab-1∈H.子群的例设G是群，H＝{e}是子群。G是群，a∈G，H＝{ak|k∈Z}是子群，叫做a生成的子群。S3中，H＝{f1,f2,f3}是f2生成的子群。交代群An是对称群Sn的子群。命题.一个群的任意两个子群的交仍是子群。群的同构与同态isomorphismandhomomorphismofgroups同构f:（G1，*）（G2，*），f一一对应，保持运算。|G1|=|G2|,对应元素有相同的阶。同态f:（G1，*）（G2，*），f多一到上，保持运算。例13G是实数加法群,G’是正实数乘法群。f:GG’例14SnB，B＝{0,1}.例15ZZn例16．S3与Z6都是6阶群，不同构。定理5.设f:(G，*)(G’，*’)是同态，则（a）f(e)=e’,(b)f(a-1)=f(a)-1,(c)H是G的子群f(H)是G’的子群。HomeworkPP348－3496，12，19，22，24，28，30，32，33§9.5乘积群和商群