第一章矩阵与线性方程组

矩阵与线性方程组1第一章矩阵与线性方程组在中学已经学习了有关两个未知量、两个方程的二元一次方程组的基本知识。一次方程又称为线性方程。在自然科学、社会科学和许多工程技术问题中，常常需要处理几十、几百甚至成千上万个未知量的线性方程组，未知量的个数和方程的个数也不一定完全一致，这就要求我们把关于二元一次方程组的知识推广到有n个未知量和m个方程的线性方程组上去。矩阵是解决这类问题的重要工具之一。1.1矩阵及其运算1.1.1线性方程组及其矩阵表示线性方程组（systemoflinearequations）的一般形式为mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(1.1)显见，二元一次方程组是其特款。方程组（1.1）中有m个方程、n个未知量。aij代表第i个方程中未知量xj的系数，bi是第i个方程的常数项。当常数项b1，b2，…，bm全为零时，式（1.1）称为齐次线性方程组；当常数项不全为零时，式（1.1）称为非齐次线性方程组。当m、n较大时，方程组（1.1）的书写需重复许多次未知量以及“+”、“=”运算符号，如用计算机进行处理，则浪费很多存储空间。因此，我们将方程组（1.1）中未知量的系数简化成如下的m行n列矩形数表线性代数2mnmmnnaaaaaaaaa212222111211如果再考虑到方程组右端的常数项（非齐次项），还可以得到m行n+1列矩形数表mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211对方程组的研究将归结于对如上形式数表的研究。将上述类型的数表抽象为如下的矩阵定义。定义1.1将m×n个数ija（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）排成一个矩形数表A=mnmmnnaaaaaaaaa212222111211(1.2)称为一个m行n列矩阵(matrix)，简称为m×n矩阵。其中横向各排称为行，纵向各排称为列，m×n个数叫作矩阵A的元或元素；aij叫做矩阵A的第i行第j列元；所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O。元是实数的矩阵称为实矩阵，元是复数的矩阵称为复矩阵。式（1.2）也简记为：A=(aij)m×n或A=(aij)一般情况下，我们用大写字母A，B，C，…表示矩阵。本书中的矩阵除特殊说明外，都指实矩阵。定义1.2如果两个矩阵A，B有相同的行数与相同的列数，并且对应位置的元均相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。即如果A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,且aij=bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),则A=B我们可以对矩阵定义一些运算，它们都是有其实际背景的。为了说明线性矩阵与线性方程组3方程组如何通过矩阵来表示，先引进矩阵的乘法运算。定义1.3设矩阵A=(aik)m×l的列数与B=(bkj)l×n行数相同，则由元素cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ailblj=lkkjikba1(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)构成的m行n列矩阵C=(cij)m×n=(lkkjikba1)m×n称为矩阵A与矩阵B的乘积,记为C=AB如果记A=mnmmnnaaaaaaaaa212222111211,x=nxxx21,b=mbbb21则线性方程组(1.1)可以通过矩阵的乘法表示成矩阵方程Ax=b(1.3)1.1.2矩阵的基本运算及性质需要指出，能用矩阵描述的问题并不局限于线性方程组。矩阵在工业、农业、经济等许多领域有着广泛的应用，伴随计算机技术的飞速发展，矩阵被更有效地运用到物理学、力学、化学、生物学、遗传学、医学等众多学科中，成为解决线性问题的有力工具。矩阵已经有了完整的理论体系，本小节主要介绍矩阵的基本运算。定义1.4设有两个m×n矩阵A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，那么A与B的和记作A+B，规定为A+B=mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111应当注意，只有两个矩阵是同型矩阵，即它们的行数、列数分别对应相等线性代数4时，这两个矩阵才能进行加法运算。矩阵加法满足下列运算规律（设A、B、C都是m×n矩阵）(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)设矩阵A=(aij),记－A=(－aij)－A称为矩阵A的负矩阵,显然有A+(－A)=O由此规定矩阵的减法为A－B=A+(－B)定义1.5数与矩阵A的乘积记作A或A,规定为A=A=mnmmnnaaaaaaaaa212222111211设A、B为m×n矩阵，、为数，数乘矩阵满足下列运算规律(1)()A=(A)(2)(+)A=A+A(3)(A+B)=A+B这些运算规律都很容易从数的运算规律得到。下面给出一些矩阵基本运算的例子。例1.1设A=361531B=830212则A+B=1191323例1.23543501321=151291503963例1.3矩阵乘法矩阵与线性方程组5101110010010010010120101＝10010010000010120001＝21021例1.4矩阵乘法111101100101011011110011=0211001112210011例1.5给定矩阵A=100100010B=000000100则有AB=100100010000000100=000000000=OBA=000000100100100010=000000100O由定义及例1.5可以看出，矩阵乘法与数的乘法有一些根本性的区别：（1）矩阵的乘法对相乘的两个矩阵在行数和列数上是有要求的，即乘积AB中A的列数必须与B的行数相一致，否则乘法无意义。（2）矩阵的乘法一般是不可交换的，即在一般情况下，ABBA。实际上，AB有意义时，BA不一定有意义，即使有意义，两者也不一定相等。（3）两个非零矩阵相乘有可能变成零矩阵。因而，由AB=O并不能推出A=O或B=O。随之而来的是：由AB=AC，且AO，并不能推出B=C。可以验证矩阵的乘法满足如下运算规律（假设运算都是可行的）（1）结合律A(BC)=(AB)C线性代数6（2）分配律（A+B）C=AC+BCA(B+C)=AB+AC（3）对任一数k，有k(AB)=(kA)B=A(kB)矩阵连同对其所定义的满足如上运算规律的加法、数乘和乘法运算一起称为矩阵代数。对于矩阵，还可以定义转置运算。定义1.6把矩阵A的各行变成同序数的列得到一个新的矩阵，称为A的转置（transpose），记作AT(或At，或A)。例如矩阵A=113021的转置矩阵为AT=101231矩阵的转置满足如下运算规律（假设其中所涉及的运算都是有意义的）（1）(AT)T=A（2）(A+B)T=AT+BT（3）(A)T=AT（4）（AB）T=BTAT前三个规律是显然的，现在证明（４）：设A=(aij)是m×n矩阵，B=(bij)是n×p矩阵。于是AT=(ija)n×m，BT=(ijb)p×n，其中ija＝aji，ijb＝bjiBTAT中第i行第j列元为nkkijknkjkkinkkjikbaabab111而（ABT)中第i行第j列元是AB中的第j行第i列元，即nkkijkba1所以（ABT)＝BTAT证毕设A为n阶方阵，如果满足AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…，n)那么A称为对称阵。对称阵的特点是：它的元以主对角线为对称轴而对应相等。矩阵与线性方程组71.1.3几种特殊形式的矩阵如果矩阵A=(aij)行数与列数等于n，则称A为n阶矩阵（或称n阶方阵）。在方阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，主对角线上的元称为对角元。主对角线一侧所有元都为零的方阵称为三角形矩阵。三角形矩阵有两种，分别称nnnnaaaaaa00022211211或nnnnaaaaaa21222111000为上三角形矩阵或下三角形矩阵。主对角线以外全为零的n阶方阵=n00000021称为对角线矩阵（diagonalmatrix），简称对角阵，也可以记为=diag(1,2,…,n)主对角线上元都为1的n阶对角阵100010001称为n阶单位矩阵（identitymatrix），记为E或En。在矩阵的乘法运算中，单位矩阵具有如下性质：对任意矩阵A，B，有EA=A，BE=B这里假设上述矩阵乘法都是有意义的。1.1.4逆矩阵线性代数8定义1.7设A是一个n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E则称A为可逆阵，B是A的逆矩阵（inverse），简称逆阵；可逆阵也称为非退化阵或非奇异阵。性质1.1如果方阵A可逆，则A有唯一的逆阵。证明设矩阵B、C都是A的逆阵，则有B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C所以A的逆阵是唯一的。证毕由于可逆阵A的逆阵为唯一确定，所以可以用符号A－1表示，有AA－1＝A－1A＝E利用逆矩阵的记号，可以方便地表示出某些线性方程组的解。考虑由n个方程、n个未知量构成的线性方程组：nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111其系数矩阵是方阵A=nnnnnnaaaaaaaaa212222111211假设A可逆，则可对如上方程组的矩阵表示形式Ax=b两端同时左乘A－1，得到A－1Ax=A－1b即Ex=A－1b从而解得x=A－1b这说明，只要能够求得A－1，则利用矩阵的乘法，就可以求出方程组的解。为了能求得A－1，需要进一步探讨逆矩阵的性质。性质1.2如果矩阵A可逆，且AB=E，则必有BA=E；如果矩阵A可逆，且BA=E，则必有AB=E。矩阵与线性方程组9证明由A可逆，必有A-1A=AA-1=E又已知AB=E于是有BA=E(BA)=(A-1A)(BA)=A-1(AB)A=A-1EA=A-1A=E同理可以证明后一结论。证毕性质1.3如果n阶方阵A，B都可逆，则AB也可逆，并且（AB）-1=B-1A-1证明由于（AB）(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E利用性质1.2直接可得(B-1A-1)（AB）=E所以A可逆，由逆阵的唯一性得:（AB）-1=B-1A-1证毕这个性质可以推广到有限个方阵乘积的情况，即（A1A2…An）-1=An-1…A2-1A1-1性质1.4如果方阵A可逆，则A-1可逆，而且（A-1）-1=A.证明直接利用逆阵的定义即可证明。性质1.5如果方阵A可逆，则A的每一行都不能全为零，A的每一列也都不能全为零。证明假设A的第i行全为零，则由矩阵乘法的定义可知AA-1的第i行全为零，这与AA-1=E矛盾。所以A的每一行都不能全为零。同理，A的每一列也都不