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§7.2一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表:判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根x1=x2=-b2a没有实数根ax2+bx+c0(a0)的解集ax2+bx+c0(a0)的解集2.用程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的求解的算法过程为3.上述不等式ax2+bx+c0(0)中的a均大于0,若a0,则可先进行转化,使x2的系数为正,但一定注意在转化过程中不等号的变化.[难点正本疑点清源]一元二次不等式的解集及解集的确定一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2-4ac的符号的影响,且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系,可结合相应的函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,数形结合求得不等式的解集.若一元二次不等式经过不等式的同解变形后,化为ax2+bx+c0(或0)(其中a0)的形式,其对应的方程ax2+bx+c=0有两个不等实根x1,x2,(x1x2)(此时Δ=b2-4ac0),则可根据“大于取两边,小于夹中间”求解集.1.已知集合A={x|x2-160},B={x|x2-4x+30},则A∩B=________________.2.不等式x21的解集为________.3.函数y=x2+x-12的定义域是___________________________________________.4.已知不等式x2-2x+k2-10对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围为______________.5.(2011·上海)不等式x+1x≤3的解集为__________.题型一一元二次不等式的解法例1已知不等式ax2-3x+64的解集为{x|x1或xb},(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc0.探究提高(1)解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.(2)解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即Δ的符号进行分类,最后在根存在时,根据根的大小进行分类.已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;(2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围.题型二二次函数与二次不等式例2已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.探究提高二次函数、二次不等式、二次方程之间有着密切关系.(1)一元二次不等式解集的端点就是对应的一元二次方程的解.(2)不等式的解集结构与二次项系数有直接的关系.(3)二次函数的图象能直观反映一元二次不等式解集的情况.已知二次函数y=x2+px+q,当y0时,有-12x13,解不等式qx2+px+10.题型三一元二次不等式的实际应用例3某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内?探究提高不等式应用题常以函数、数列为背景出现,多是解决现实生活、生产中的最优化问题,在解题中主要涉及到不等式的解法等问题,构造数学模型是解不等式应用题的关键.某种商品,现在定价p元,每月卖出n件,设定价上涨x成,每月卖出数量减少y成,每月售货总金额变成现在的z倍.(1成=10%)(1)用x和y表示z;(2)设x与y满足y=kx(0k1),利用k表示当每月售货总金额最大时x的值;(3)若y=23x,求使每月售货总金额有所增加的x值的范围.9.与一元二次不等式有关的恒成立问题试题:(12分)设函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于一切实数x,f(x)0恒成立,求m的取值范围;(2)若对于x∈[1,3],f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围.审题视角(1)对于x∈R,f(x)0恒成立,可转化为函数f(x)的图象总是在x轴下方,可讨论m的取值,利用判别式求解.(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种处理方法:方法一是利用二次函数区间上的最值来处理;方法二是先分离出参数,再去求函数的最值来处理,一般方法二比较简单.规范解答解(1)要使mx2-mx-10恒成立,若m=0,显然-10;若m≠0,则m0,Δ=m2+4m0⇒-4m0.所以-4m≤0.[4分](2)要使f(x)-m+5在[1,3]上恒成立,即mx-122+34m-60在x∈[1,3]上恒成立.[6分]有以下两种方法:方法一令g(x)=mx-122+34m-6,x∈[1,3].当m0时,g(x)在[1,3]上是增函数,[8分]所以g(x)max=g(3)⇒7m-60,所以m67,则0m67;[10分]当m=0时,-60恒成立;当m0时,g(x)在[1,3]上是减函数,所以g(x)max=g(1)⇒m-60,所以m6,所以m0.综上所述:m的取值范围是{m|m67}.[12分]方法二因为x2-x+1=x-122+340,又因为m(x2-x+1)-60,所以m6x2-x+1.[8分]因为函数y=6x2-x+1=6x-122+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m67即可.[10分]所以,m的取值范围是m|m67.[12分]对于给定区间上的不等式恒成立问题,一般可根据以下几步求解:第一步:整理不等式(或分离参数);第二步:构造函数g(x);第三步:求函数g(x)在给定区间上的最大值或最小值;第四步:根据最值构造不等式求参数;第五步:反思回顾,查看关键点,易错点,完善解题步骤.批阅笔记1.与一元二次不等式有关的恒成立问题,可通过二次函数求最值,也可通过分离参数,再求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.3.对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.4.本题考生易错点:忽略对m=0的讨论.这是由思维定势所造成的.方法与技巧1.解不等式的基本思路是等价转化,分式不等式整式化,使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式,进而获得解决.2.对于不等式ax2+bx+c0(≥0)或ax2+bx+c0(≤0)(a≠0)的求解,善于联想:(1)二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点;(2)方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,运用好“三个二次”间的关系.失误与防范1.一元二次不等式的界定.对于貌似一元二次不等式的形式要认真鉴别.如:解不等式(x-a)(ax-1)0,如果a=0它实际上是一个一元一次不等式;只有当a≠0时它才是一个一元二次不等式.2.当判别式Δ0时,ax2+bx+c0(a0)解集为R;ax2+bx+c0(a0)解集为∅.二者不要混为一谈.3.注意利用数形结合的思想利用二次函数y=ax2+bx+c的图象可以一目了然地写出一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0的解集.4.含参数的不等式的求解,注意选好分类标准,避免盲目讨论.§7.2一元二次不等式及其解法(时间:60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.设函数f(x)=-2x0,x2+bx+cx≤0,若f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于x的不等式f(x)≤1的解集为()A.(-∞,-3]∪[-1,+∞)B.[-3,-1]C.[-3,-1]∪(0,+∞)D.[-3,+∞)2.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是-12,-13,则不等式x2-bx-a0的解集是()A.(2,3)B.(-∞,2)∪(3,+∞)C.13,12D.-∞,13∪12,+∞3.若集合A={x|ax2-ax+10}=∅,则实数a的值的集合是()A.{a|0a4}B.{a|0≤a4}C.{a|0a≤4}D.{a|0≤a≤4}二、填空题4.若关于x的不等式ax2-6x+a20的解集是(1,m),则m=________.5.若不等式5-x7|x+1|和不等式ax2+bx-20的解集相同,则实数a,b的值分别为________.6.已知f(x)=x+1x0,-x-1x≥0,则不等式x+(x+1)f(x-1)≤3的解集是___________.三、解答题7.某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加85x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域;(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值范围.8.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(mn).(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)0的解集;(2)若a0,且0xmn1a,比较f(x)与m的大小.B组专项能力提升题组一、选择题1.不等式ax2+bx+c0的解集为{x|-1x2},那么不等式a(x2+1)+b(x-1)+c2ax的解集为()A.{x|0x3}B.{x|x0,或x3}C.{x|-2x1}D.{x|x-2,或x1}2.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(x)>0的解集为()A.(0,+∞)B.(-1,0)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.(-1,0)3.若不等式x2-2ax+a0对一切实数x∈R恒成立,则关于t的不等式at2+2t-31的解集为()A.(-3,1)B.(-∞,-3)∪(1,+∞)C.∅D.(0,1)二、填空题4.若关于x的不等式x2+12x-12n≥0,对任意n∈N*在x∈(-∞,λ]上恒成立,则实数λ的取值范围是__________.5.若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为_________.6.若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x0,y0满足f(xy)=f(x)+f(y),则不等式f(x+6)+f(x)2f(4)的解集为________.7.在R上定义运算:x*y=x(1-y).若不等式(x-a)*(x+a)1对任意实数x恒成立,则a的取值范围是__________.三、解答题8.已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.答案要点梳理1.{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}{x|x∈R}{x|x1xx2}∅∅基础自测1.{x|-4x1或3x4}2.{x|-1x1}3.(-∞,-4]∪[3,+∞)4.(-∞,-2)∪(2,+∞)5.x|x≥12或x0题型分类·深度剖析例1解(1)因为不等式ax2-3x+64的解集为{x|x1或xb},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根
本文标题:第七章第2节
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