向量综合测试卷

向量综合测试卷命题人：阚中才第Ⅰ卷（选择题）1.若AB→＝(3,4)，A点的坐标为(－2，－1)，则B点的坐标为()A．(1,3)B．(5,5)C．(1,5)D．(5,4)2.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为()A.4B.－4C.2D.－23.下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(－2,1)B．e1＝(4,6)，e2＝(6,9)C．e1＝(2，－5)，e2＝(－6,4)D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－344.对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“*”为m*n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“※”为m※n＝(a＋c，b＋d)．设f＝(p，q)，若(1,2)*f＝(5,0)，则(1,2)※f等于()A．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0，－4)5.若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝()A．13B．－13C．9D．－96.已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于()A．－4B．－3C．－2D．－17.已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．以上均不正确8.在▱ABCD中，已知AD→＝(3,7)，AB→＝(－2,3)，对角线AC，BD相交于O点，则CO→的坐标是()A.－12，5B.－12，－5C.12，－5D.12，59.已知O为坐标原点，向量(2,2)OA，(4,1)OB，在x轴上取一点P使APBP有最小值，则P点的坐标是（）A．(3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)10.在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则AB·AC等于()A．－16B．－8C．8D．1611.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．1212.已知OAB、、三点的坐标分别为(0,0)O、(3,0)A、(0,3)B，点P在线段AB上，且APtAB（01t剟），则OAOP的最大值为（）A．3B．6C．9D．12第Ⅱ卷（非选择题）13.设向量a与b的夹角为，且(3,3)a，2(1,1)ba，则cos．14.已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为________.15.在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC→＝2BD→，则AD→·BC→＝________.16.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.17.已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD→|与点D的坐标．18.已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.19.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标．20.在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，(1)若PA＋PB＋PC＝0，求OP的坐标．(2)若OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n.21.已知(2,1)A，(3,2)B，(1,4)D．（1）求证ABAD；（2）若四边形ABCD是矩形，试确定点C的坐标．（3）若点M为直线OD上一个动点（O为原点），当MAMB取最小值时，求OM的坐标．参考答案1.A2.D3.C4.B5.D6.B7.C8.B9.C10.D11.C12.C13.3101014.1915.－8316.4317.【解析】设D点坐标为(x，y)，则AD→＝(x－2，y＋1)，BC→＝(－6，－3)，BD→＝(x－3，y－2)，∵D在直线BC上，即BD→与BC→共线，∴存在实数λ，使BD→＝λBC→，(0λ1)即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．∴x－3＝－6λy－2＝－3λ，∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①又∵AD⊥BC，∴AD→·BC→＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.②由①②可得x＝1y＝1，∴|AD→|＝1－22＋1＋12＝5，即|AD→|＝5，点D的坐标为(1,1)．见解析18.【解析】(1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2＝4|a|2－|b|2＝4×42－82＝0.(2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×42－16×4×8×cos60°＋4×82＝256.∴|4a－2b|＝16.见解析19.【解析】设P(x，y)，则DP＝(x－1，y)，DB＝(5,4)，CA＝(－3,6)，DC＝(4,0)．由B，P，D三点共线可得DP＝λDB＝(5λ，4λ)．又∵CP＝DP－DC＝(5λ－4,4λ)，由于CP与CA共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47，∴DP＝47DB＝207，167，∴P的坐标为277，167.见解析20.【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，因为PA＋PB＋PC＝0，又PA＋PB＋PC＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.所以点P的坐标为(2,2)，故OP＝(2,2)．(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，所以AB＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，AC＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，因为OP＝mAB＋nAC，所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以x0＝m＋2n，y0＝2m＋n，两式相减得m－n＝y0－x0，又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.见解析21.【证明】（1）∵(1,1)AB，(3,3)AD，∴330ABAD，∴ABAD．【解】（2）设(,)Cxy．由ADBC得(3,3)(3,2)xy，∴3323xy，解得05xy．∴点C的坐标是(0,5)．（3）由题意易知直线OD的方程是40xy．设(,)Mab，则40ab，即4ba．∴(2,1)(3,2)MAMBabab(2)(3)(1)(2)aabb21778aa∵170，∴当7721734a时，MAMB取最小值，此时1417b．∴OM的坐标是714(,)3417．