江苏省扬州中学2016届高三上学期12月月考试题数学

江苏省扬州中学高三数学质量检测试卷2015．12一、填空题1．已知集合{0}Axx，{1012}B，，，，则AB等于．2．已知虚数z满足216izz，则||z．3．抛物线22yx的准线方程为．4．角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P，则)cos(的值是．5.设函数f(x)＝12cos(ωx＋φ)，对任意x∈R都有fπ3－x＝fπ3＋x，若函数g(x)＝3sin(ωx＋φ)－2，则g(π3)的值为_________．6.“NM”是“NM22loglog”成立的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).7.若nS为等差数列}{na的前n项和,,104,36139SS则5a与7a的等比中项为___.8.设函数f(x)在(0,＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f(1)＝__________．9．若实数,ab满足20101abbaa，则22abab的最大值为_________.10.在边长为1的正ABC中，向量,BAxBD,CAyCE0,0yx，且,1yx则BECD的最大值为________.11.已知)(xf是定义在R上的奇函数，且),()3(xfxf当)0,2(x时，,2)(xxf则)2013()2014()2015(fff_________.12.已知直线2ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x2＋y2＝1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为________．13．已知抛物线214yx=和21516yx=-+所围成的封闭曲线，给定点),0(aA，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A对称，则实数a的取值范围是.14.设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为．二、解答题：15．(本小题满分14分)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形.（1）若CF⊥AE，AB⊥AE，求证：平面ABFE⊥平面CDEF；（2）求证：EF//平面ABCD.16.(本小题满分14分)已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4.(1)若m·n＝1，求cos2π3－x的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：)0(12222babyax的离心率为21，右焦点F（1,0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：222byx相切于点M.（1）求椭圆C的方程；（2）求|PM|·|PF|的取值范围；（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值.ABCDEFOPMQFxy18.(本小题满分16分)某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验。如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段DDCCBBAA1111,,,关于坐标轴或原点对称，线段BB1的方程为baxxy,,，在海岸和礁石中间的海域可以作为航道通行。有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点)0,25(aM处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N)0,25(a测得汽笛声的时刻晚s1（设海面上声速为sam/）。若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积）（I）问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么？（II）这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由。19．（本小题满分16分）对于函数(),()fxgx，如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数()fx和()gx在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.设函数2()(0)fxaxbxa,()lngxx.（1）当1a,0b时,判断函数()fx和()gx是否相切？并说明理由；（2）已知ab，0a，且函数()fx和()gx相切，求切点P的坐标；（3）设0a，点P的坐标为1(,1)e，问是否存在符合条件的函数()fx和()gx，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为2(e,2)呢？（结论不要求证明）20.(本小题满分16分）在数列{}na中，11a，且对任意的*kN,21221,,kkkaaa成等比数列，其公比为kq．（1）若kq=2(*kN)，求13521...kaaaa；（2）若对任意的*kN，ka2，12ka，22ka成等差数列，其公差为kd，设11kkbq．①求证：{}kb成等差数列，并指出其公差；②若1d=2,试求数列{}kd的前k项的和kD．数学Ⅱ(附加题)1.已知矩阵aM112的一个特征值是3，求直线032yx在M作用下的直线方程.2.已知直线l经过点(1,1)P，倾斜角6．（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆422yx相交与两点,AB，求点P到,AB两点的距离之积．3．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设为随机变量，若xy为整数，则0；若xy为小于1的分数，则1；若xy为大于1的分数，则1．（1）求概率(0)P；（2）求的分布列，并求其数学期望()E．4.已知nx)211(展开式的各项依次记为).(),(),...,(),(121xaxaxaxann设函数)(xF).()1()(...)(3)(2)(1321xanxnaxaxaxann（1）若)(),(),(321xaxaxa的系数依次成等差数列，求正整数n的值；（2）求证：],2,0[,21xx恒有.1)2(2|)()(|121nxFxFn高三数学质量检测试卷参考答案及评分标准2015.121．1,22．53．81y4．555.－26.必要不充分7.248.29．5710.8311.012.(3－22)π13.5(,4)214．92．【解析】易知d=0，成立．当d0时，dadaa5320142014531154d)k(d)k(aak54201454542014201454201438535420145320141254d)k()d(d)k()d(aaak20143854201438)dk()d()k(d)k(d)k(d)k(1073854010738542107385438107383854k)d(ddkd*Nddd)d(ddk3853385438533854381073838543854381073854又0038038535320141dd)d(da38380d381,2,19d，37,36,19d，所以公差d的所有可能取值之和为92．15．（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD，又∵AB⊥AE，∴AE⊥CD又∵AE⊥CF，CD∩CF=C，CD、CF平面CDEF，∴AE⊥平面CDEF，又∵AE平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF………7分（2）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD又∵AB平面CDEF，CD平面CDEF，∴AB//平面CDEF又∵AB平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF=EF，∴AB//EF又∵EF平面ABCD，AB平面ABCD，∴EF//平面ABCD.………14分17.（1）121cac…………2分∴c=1，a=2，∴3b，∴椭圆方程为13422yx…………4分（2）设),(00yxP，则)20(13402020xyxPM=0202020202134333xxxyx，………………6分PF=0212x…………8分∴PM·PF=1)2(41)4(412000xxx，∵200x，∴|PM|·|PF|的取值范围是（0,1）.…………10分（3）法一：①当PM⊥x轴时，P)23,3(，Q),3(t或),3(t，由0OQOP解得32t……………………12分②当PM不垂直于x轴时，设),(00yxP，PQ方程为)(00xxkyy，即000ykxykx∵PQ与圆O相切，∴31||200kykx，∴33)(2200kykx∴002ykx33220202kyxk………………13分又),(00tkkxytQ，所以由0OQOP得00000)(kyxkxyxt……14分∴200200202)()(kyxkxyxt0020220200202)(ykxykxykxx33)33(22020220220220kyxkykxkx=33)433)(1()1()33(2202202220kxkxkkx=12，∴32t……16分法二：设),(00yxP，则直线OQ：xyxy00，∴),(00ttxyQ，∵OP⊥OQ，∴OP·OQ=OM·PQ∴2020002220202020)()(3tytxyxttxyyx………12分∴)(33)(220202020220220202020202022020txxyxtytxyxyxxtyx∴)(3)(22022020txtyx，∴332020202yxxt………………14分∵1342020yx，∴4332020xy，∴1241320202xxt，∴32t……………16分18.（1）设轮船所在的位置为P，由题意可得aPNPM||||。||MNa，故点P的轨迹是以NM,为焦点的双曲线的右支。设点P的轨迹方程为12222nymx)0,0(nm则am21aaan44522兴趣小组观察到轮船的当前航线所在的曲线方程是2224ayx（)0x（II）这艘船能由海上安全驶入内陆海湾。设直线l的方程为0yy。当ay00时，设l与双曲线右支、直线ax分别交于点11,SQ，则),21(02201yayQ，),(01yaSaaaay222202121点1Q在点1S的左侧，船不可能进入暗礁区。当ay0时，设l与双曲线右支、直线xy分别交于点22,SQ，则),21(02202yayQ，),(002yyS043)(4122020220ayyay022021yay2Q在点2S的右侧，船不可能进入暗礁区。综上，在x轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能由海上安全驶入内陆海湾。19.（1）结论：当1a,0b时,函数()fx和()gx不相切.…1分理由如下：由条件知2()fxx，由()lngxx，得0x，又因为()2fxx，1()gxx，所以当0x时，()20fxx，1()0gxx，所以对于任意的0x，()()fxgx.当1a,0b时,函数()fx和()gx不相切.…3分（2）若ab，则()2fxaxa，1()gxx，设切点坐标为(,)st，其中0s,由题意，得2lnasass①，12asas②，由②得1(21)ass，代入①得1ln21sss.（*）因为10(21)ass，且0s，所以12s.设函数1()ln21xFxxx，1(,)2x，则2(41)(1)()(21)xxFxxx.令