柏努利方程

一、理论概述•1738年，柏努利（Bernoulli）出版的名著《流体动力学》中，首次将能量守恒应用到流体中，1755年由欧拉推导出完整的公式。实验验证了流体中的能量守恒，建立了流体位势能、压强势能和动能之间的能量转换关系──柏努利方程。在此历史阶段，诸学者的工作奠定了流体静力学的基础。•柏努利方程给出了无粘流动中压力、速度和位置高度之间的关系。柏努利方程应用很广，但必须要注意，该方程只适用于粘性作用可以忽略的流动。•下面给出柏努利方程的推导：••图1沿流管所取的流体微元控制体cv•图1为沿流管所取的微元控制体cv，长度为ds，s为流线方向，流动参量(,,)Vp随s及时间变化，并且在各个垂直于s的截面上是均匀的。根据质量守恒有：•,,0moutmincvddvqqdt-------（1）•对于固定形状的控制体，时间导数可放在积分号内，且对时间的导数可以用偏导数表示，因此式（1）可表示为式（2）的微分形式方程•0mdvdqt-------（2）•式中mVA，dvAds，因此有•()mdqdVAt-------（3）•流线方向的动量方程为•()()()()smoutminmcvddFVdvqVqVVAdsdqVdtt----（4）••式（4）由于是在流线方向的动量方程，因此V即sV。如果忽略粘性力作用，即对于理想流体，流体受到的力为压力和重力，重力在流线方向的分量为•,sinsinsgdFdWAdsAdz•求整个控制面的压强在沿流向的合力时，可以将所有部分的压强都减去p，然后再求和，如图1b所示。•,1()2spdFdpdAdpAdAAdp•将上述两个力项代入动量方程式（4）得•()()smmmdFAdzAdpVAdsdqVVAdsqdVVdqtt•上式两边除以A并考虑到式(3)得•0VdpdsVdVgdzt-------（5a）•式（5）即为非定常、无粘流动，沿流线方向的微分形式动量方程，又称为一维流动的欧拉运动微分方程。•如果流动为定常，则式(5)可改写为•0dpVdVgdz-------（5b）•对于气体，由于重度很小，通常忽略重力势能，则式(5b)为•0dpVdV-------（5c）•此式（5c）说明，当dp为正值时，则dV必为负值，也就是说，当压强增加时，流体的速度必定要减小，而在压强减小时，速度一定要增加。这是气体流动时的重要规律之一。•对式（5a）从点1到点2进行积分得•22222121111()()02VdpdsVVgzzt-------（6）••图2柏努利方程中各项的意义•对于定常不可压流动，式（6）变为•222121211()()02ppVVgzz•或•2211221222pVpVgzgzconst-------（7）•上式两端同时除以g得•2211221222pVpVzzconstgg-------（8）•式（8）即为定常不可压无粘流动沿流线的柏努利方程。•从力学观点来看，柏努利方程表示无粘流体定常流动中的能量守恒定律。式中p代表单位重量流体的压力能，22Vg单位重量流体所具有的动能，z表示单位重量流体所具有的位能。式（8）表明，对于无粘定常流动，单位重量流体的压力能、位能和动能的总和沿流线是一个常数。可以证明，对于多维定常无粘流动，此式沿流线仍然成立。上式中各项都具有长度量纲，因此又称为“头”，p称为压力头又叫静水头，22Vg称为速度头又称为动水头，z称为位置水头。在流体力学中常常采用水头线来直观地表示柏努利方程中各项之间的关系，如图2所示。流管各截面中心线联成的曲线'aa称为位置水头线，位置水头线上再加上压力水头线的高度，则可得到反映p和z之和的曲线'cc，这条曲线称为静水头线，在静水头线上加上速度水头的高度，则得到反映单位重量流体总机械能量的曲线'bb，它被称为总水头线。柏努利方程是能量守恒与转换定律的另一种表现形式，表示流体的各种机械能的守恒与转换关系，突出了流体的速度与压强之间的关系，所以柏努利方程又叫做机械能形式的能量方程。柏努利方程应用实例：1、毕托管测速2、文丘里管测流量3、轮船为什么会相撞?4、飞机升空的原理5、为什么乒乓球掉不下来？6、为什么纸会向中间靠拢？7、喷雾器工作原理8、为什么乒乓球中的上旋球的飞行弧线比不转球的飞行弧线低？•二、实验指导（一）实验目的1、观察恒定流的情况下，当管道断面发生改变时水流的位置势能、压强势能、动能的沿程转化规律，加深对能量方程的物理意义及几何意义的理解。2、观察均匀流、渐变流断面及其水流特征。3、掌握急变流断面压强分布规律。4、测定管道的测压管水头及总水头值，并绘制管道的测压管水头线及总水头线。（二）实验装置本仪器测压管有两种：1、毕托管测压管（表2.1中标*的测压管），用以测读毕托管探头对准点的总水头'H（22puZg），须注意一般情况'H与断面总水头H（22pvZg）不同（因一般uv），它的水头线只能定性表示总水头变化趋势；2、普通测压管（表2.1未标*者），用以定量量测测压管水头。实验流量用阀13调节，流量由体积时间法（量筒、秒表另备）、重量时间法（电子称另备）或电测法测量。（三）实验原理在实验管路中沿管内水流方向取n个过水断面。可以列出进口断面（1）至另一断面（i）的能量方程式（i＝2，3，……，n）122111122iiiiiwpvpvZZhgg1.自循环供水器2.实验台3.调速器4.溢流板5.稳水孔板6.恒压水箱7.测压计8.滑动测量尺9.测压管10.实验管道11.测压点12.毕托管13.流量调节阀取12n1…＝，选好基准面，从已设置的各断面的测压管中读出pZ值，测出通过管路的流量，即可计算出断面平均流速v及22vg，从而即可得到各断面测管水头和总水头。（四）实验方法与步骤1、熟悉实验设备，分清哪些测管是普通测压管，哪些是毕托管测压管，以及两者功能的区别。2、打开开关供水，使水箱充水，待水箱溢流，检查调节阀关闭后所有测压管水面是否齐平。如不平则需查明故障原因（例连通管受阻、漏气或夹气泡等）并加以排除，直至调平。3、打开阀13，观察思考1）测压管水头线和总水头线的变化趋势；2）位置水头、压强水头之间的相互关系；3）测点（2）（3）测管水头同否？为什么？4）测点（12）（13）测管水头是否不同？为什么？5）当流量增加或减少时测管水头如何变化？4、调节阀13开度，待流量稳定后，测记各测压管液面读数，同时测记实验流量。5、改变流量2次，重复上述测量。（五）实验成果及要求1、记录有关常数均匀段1Dcm缩管段2Dcm扩管段3Dcm水箱液面高程0＝cm上管道轴线高程z＝cm表2.1管径记录表测点编号1*23456*78*9101112*1314*1516*1718*19管径cm两点间距cm4466413.5610291616注：（1）测点6、7所在断面内径为2D，测点16、17为3D，余均为1D。（2）标“*”者为毕托管测点（测点编号见图2.2）。（3）测点2、3为直管均匀流段同一断面上的两个测压点，10、11为弯管非均匀流段同一断面上的两个测点。2、记录各点液面高程。记入表2.2测点编号1234567891011121314实1验次序23测点编号1516171819Qcm3/s实验次序1233、计算流速水头和总水头。4、绘制上述成果中最大流量下的总水头线E-E和测压管水头线P-P（轴线尺寸参见图2.2，总水头线和测压管水头线可以绘在图2.2上）。提示：1．P-P线依表2.2数据绘制，其中测点10、11、13数据不用；2．E-E线依表2.3（2数据绘制，其中测点10、11数据不用；3．在等直径管段E-E与P-P平行。（六）成果分析及讨论1．测压管水头线和总水头线的变化趋势有何不同?为什么？2．流量增加，测压管水头线有何变化?为什么？3．测点2、3和测点10、11的测压管读数分别说明了什么问题？4．试问避免喉管（测点7）处形成真空优哪几种技术措施？分析改变作用水头（如抬高或降低水箱的水位）对喉管压强的影响情况。5．毕托管所显示的总水头线与实测制的水头线一般都略有差异，试分析其原因。6．思考并回答：1）测压管水头线和总水头线的变化趋势；2）位置水头、压强水头之间的相互关系；3）测点（2）（3）测管水头同否？为什么？4）测点（10）（11）测管水头是否不同？为什么？5）当流量增加或减少时测管水头如何变化？表2.3计算数值表（1）流速水头管径dQ＝（cm3/s）Q＝（cm3/s）Q＝（cm3/s）图2.2（cm）A(cm2)v(cm/s)22vg(cm)A(cm2)v(cm/s)22vg(cm)A(cm2)v(cm/s)22vg(cm)(2)总水头（22pvZg）单位：cm测点编号Q（cm3/s）实验次序•