普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2(A)版

第1页共8页普通高中课程标准实验教科书·数学·选修2-2（A）版导数的几何意义教学设计570206海南华侨中学张红数学概念教学的核心价值是“凸现数学本质，强化问题教学，营造思维过程，实现育人价值”，思维教学过程的主要过程是问题教学过程，事实上数学概念教学就是思维教学，即为问题教学．一、教材与学情分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A版教材）选修2－2中第§1．1．3节．作为导数概念的下位概念课，它是在学生学习了上位概念——平均变化率，瞬时变化率，及刚刚学习了用极限定义导数，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容．导数的几何意义的学习为下位内容——常见函数导数的计算，导数在研究函数中的应用及研究函数曲线与直线的位置关系的基础．因此，导数的几何意义有承前启后的作用，是本节的重要概念．从知识上看，学生通过学习平均变化率，特别是函数的瞬时变化率及导数的概念，对导数概念有一定的理解和认识，导数是对变化率的一种“度量”，也在思考导数的另一种体现形式——形，学生对曲线的切线有一定的认识，特别是在学习圆锥曲线与直线关系时，对抛物线和双曲线的切线的有一定的了解与认识．从学习能力上看，通过一年多的学习实践，学生掌握了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力．从学习心理上看，学生已经掌握了圆锥的切线，只是它的含义是公共点个数方面了解的，当然在思维方面，形成了定势：直线与曲线相切，直线与曲线只有一个公共点．本节课切线的含义要在思维层次上升，不是从公共点上定义切线，而是由“割线”的“逼近”来定义曲线的切线，把曲线的切线上升到新的思维层面上．通过概念的建立，概念的辨析，问题的探究来激动学生的好奇和兴趣．本节课内容蕴含着导数的数形的两种体现形式，“逼近”的思想和用已知探究未知的思考方法．在教学过程中应重视并体现这些数学思想方法．根据本节课内容特点，教学过程中可充分借用信息技术这一辅助手段，利用几何画板的动态作图这一优势平台为学生的问题探究，概念形成，思维过程提供支持．二、教学目标分析【知识与技能目标】（1）知道曲线的切线定义，理解导数的几何意义；——让学生感知和初步理解函数fx在0xx处的导数0fx的几何意义就是函数fx的图像在0xx处的切线的斜率，即0000()()|limxxxfxxfxyx=切线的斜率．（2）导数几何意义简单的应用．——用导数的几何意义解释实际生活问题，初步体会“逼近”和“以直代曲”的数学思想方法．【过程与方法目标】（1）回顾圆锥曲线的切线的概念，复习导数概念，寻找fx在0xx处的瞬时变化第2页共8页率的几何意义；（2）观察教材第7页上探究问题，利用几何画板进行探究，由学生参与操作，发现割线nPP变化趋势，分析整理成结论；（3）通过学生经历或观察感知由割线逼近“变成”切线的过程，理解导数的几何意义；（4）高台跳水模型中，利用导数的几何意义，描述比较ht在0t，1t，2t处的变化情况，达到梳理新知的目的，渗透“以直代曲”的数学思想；（5）通过分析导数的几何意义，研究在实际生活问题中，用区间较小的范围的平均变化率，来解决实际问题的瞬时变化率．【情感态度价值观目标】（1）经过几何画板演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图像的切线“形成”过程，获得函数图像的切线的意义；（2）利用“以直代曲”的近似替代的方法，养成学生分析问题解决问题的方法，初步体会发现问题的乐趣；（3）增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心．三．重、难点分析重点：导数的几何意义，导数的实际应用，“以直代曲”数学思想方法．难点：对导数几何意义的理解与掌握，在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．关键：由割线nPP“逼近”切线动态变化效果，体现“量”与“质”的转化与相互替代．四、教法与学法分析（1）教法设计：探讨教学法，即教师通过问题→诱导→演示→讨论→探索结果→归纳总结．（2）学法设计：自主思考，参与探究、合作交流、形成共识．（3）教学手段：以“多媒体辅助教学手段”为辅，以“问题的探讨，学生发言、演板，老师黑板板书”为主．（4）教具准备：自做多媒体课件，视频．五、教学过程设计1．提出问题---引入课题温故知新，诱发思考：提问：初中平面几何中圆的切线的定义是什么？学生（预设）：直线和圆有惟一公共点时，直线叫做圆的切线，惟一公共点叫做切点．教师：这种定义是否适用于一般曲线的切线呢？——学生（预设）：学生回答适应，教师举出反例子；——学生（预设）：不能用公共点的个数来定义，教师：你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？学生（预设）：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个公共点．教师：这个同学答的很对．教师（强调）：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线c，直线l3虽然与曲线c有惟一公共点，但它与曲线c不相切；而另一条直线l2，虽然与曲线c有两个公共点B和C，但与曲线c相切于点B．因此，直线与曲线的公共点的个数不能第3页共8页（1）图（2）图（3）图（4）图用来定义一般曲线的切线．我必须用新的方法来定义曲线的切线．通过几何画板的演示实验，设计意图：帮助学生反思圆的切线的定义的局限性，寻找更加科学的方法来定义曲线的定义．2．自主思考，参与探究---形成概念实验观察，思维辨析：如图，当点(,())nnnPxfx（1n，2，3，4）没着曲线fx趋近点00,Pxfx时，割线nPP的变化趋势是什么？教师：当1P向P逐步逼近的时候你发现了什么？（通过几何画板向学生演示1P向P逐步逼近的动态过程，结合图形向学生引出切线的定义．）（板书）：曲线的切线的定义：1．曲线的切线的定义当nPP时，割线nPP（确定位置）PT，PT叫做曲线在点P处的切线．第4页共8页教师：有没有同学用你学的知识告诉我：割线nPP的斜率nk与切线PT的斜率k有什么关系呢？割线nPP的斜率是：（板书）00)(nnPPnfxfxkxx．由屏幕给出另一幅是抛物线的割线“逼近”成切线的幻灯片，通过几何画板的演示及口头的提问逐步地让学生发现问题的答案．当点nP无限趋近于点P时，nPPk无限趋近于切线PT的斜率k．再次通过教师逐步的引导得出函数fx在0xx处导数就是切线PT的斜率k．即（教师重复定义，并写出板书）．（板书）2．函数f（x）在x=x0处的导数是切线PT的斜率k．即000()()limxfxxfxkx0fx．设计意图：让学生参与曲线的切的“逼近”发现过程，初步体会曲线的切线的逼近定义．观察发现思维升华：在点P的附近，PP2比PP1更接近曲线f（x），PP3比PP2更接近曲线f（x），……．过点P的切线PT最贴近P附近的曲线f（x）．因此，在点P的附近，曲线f（x）可以用过点P的切线PT近是代替．教师诱导学生观察，并下结论，教师强调，“以直代曲”的数学思想方法，是微积分学中的重要思想方法．（板书）3．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．即曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线（通过几何画板演示）．3．学而习之【小试牛刀】例1：求抛物线2yx在点(1,1)A处的切线方程．变式训练：过抛物线2yx的点0P处的切线平行直线23yx，求点0P的坐标．设计意图：回顾重点，突出导数的几何意义及应用．【游刃有余】例2：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数24.9htt6.510t的图像．根据图像，请描述比较曲线ht在10.5ts，00.7ts,21ts，32ts附近的变化情况（先放郭晶晶比赛视频，后用几何画板第5页共8页演示）．先由学生交流讨论后，由学生回答，教师归纳结论．第6页共8页解析：用ht在0t，1t，2t处的切线，来描述曲线ht在0t，1t，2t附近的变化情况．（1）当0tt时，曲线ht在0t处的切线0l平行于x轴．∴在0tt附近曲线比较平坦，几乎没有升降；（2）当1tt时，曲线ht在1t处的切线1l的斜率10ht．∴在1tt附近曲线上升，即函数ht在1tt附近单调递增．（3）当2tt时，曲线ht在2t处的切线2l的斜率20ht．∴在2tt附近曲线下降，即函数ht在2tt附近单调递减．（4）当3tt时，曲线ht在3t处的切线3l的斜率30ht．∴在3tt附近曲线下降，即函数ht在3tt附近也单调递减．直线3l的倾斜程度比2l的倾斜程度要大，说明了ht在3t处附近下降程度比在2t处附近下降程度要大．讲析要点：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；当某点处导数等于零时，说明是函数的最大值点．设计意图：引领学生对问题进行定性分析，在某点处由切线的“走向”分析曲线的“走向”，渗透“以直代曲”的数学思想．4．课堂小结回味悠长导数的几何意义：1．曲线的切线的定义当nPP时，割线nPP（确定位置）PT，PT叫做曲线在点P处的切线．2．函数f（x）在x=x0处的导数是切线PT的斜率k．即000()()limxfxxfxkx0fx3．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．即曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线．5．课后思考---巩固新知思考一：求过点(3,5)B且与抛物线2yx相切的直线方程．设计意图：让学生明白经过某点的切线与在某点处的区别和联系.思考二：x轴与3yx是否相切，若是相切，你怎样解释呢？设计意图：理解曲线的切线的含义，进一步感受切线是由割线“逼近”面成的．思考三：如图，它表示人体血管中药物浓度cft（单位：/mgml）随时间t（单第7页共8页位：min）变化的函数图像．根据图像，估计0.2t，0.6，0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．先由依据导数的几何意义，分析讨论，教师再扼要写出板书．设计意图：在实际应用中，利用导数的几何意义求每点的瞬时变化率，用某点切线的近似值替代某点的瞬时变化率，进一步渗透“以直代曲”的数学思想方法．（预设）解析：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度cft在时刻的导数，从图像上看，它表示曲线ft在此点处的切线的斜率．附：板书设计§1．1．3导数的几何意义1．曲线的切线的定义当nPP时，割线nPP（确定位置）PT，PT叫做曲线在点P处的切线．2．函数f（x）在x=x0处的导数的几何意义00)(nnPPnfxfxkxx函数f（x）在x=x0处的导数是切线PT的斜率k．即000()()limxfxxfxkx0fx3．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．即曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线．例1解：0111limxfxffx即切线的斜率2k，220(1)1limxxx所以，2yx在点(1,1)A处的切线方程为第8页共8页20()2limxxxx12(1)yx，0lim(2)xx2即210xy．本文是由张红老师参加海口市青年教师优质课比赛的教案整理的。张老师课获海口市第一名，并参加省优质课比赛。推荐人：李红庆，中小学数学（高中）理事。